不经历风雨怎么见彩虹
-------一节市级观摩课诞生记 竺鑫炎
E F
B C D E F 2010年4月，嵊州市高三数学教研活动在我校举行，本人非常有幸地在此活动中上了一节观摩课，讲授的是高三二轮复习中《立体几何中的折叠问题》的内容。以下是我上课完成后得到的点点心得体会——不经历风雨怎么见彩虹。
一、教学背景
高考试卷中对学生空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，立体几何试题经常会出现折叠问题。而折叠问题除考查立体几何中本身的线面关系外，又能与空间向量，解析几何，最值等问题结合，从而进行学科内综合考查，体现标准中“在知识的交汇点设计试题”。“强调试题的综合性，注重学科的内在的联系和知识的综合”。因此，立体几何折叠问题是高考复习的重点内容之一，研究其解题思路，掌握方法，抓住关键，对高考复习指导工作有及其主要的意义。立几中有许多形式各异的折叠间题. 一个平面图形经折叠后成为一个空间图形, 此时图形的结构发生了突变, 从二维的平面图形一跃成为三维的空间图形。这就带来两个问题, 其一是空间想象问题, 即折叠后的图形究竟具有什么祥的结构的图形, 这需要有空间想象力的基础。其二, 由于图形结构的抽象性，这需要有较强的动手绘图能力。本人就几个常见的平面图形的折叠问题，来探究要解决折叠问题的基本方法。
二、背水一战
从知道要上课到4月21日上课，是一段饱受煎熬的历程，每天寝食难安。不知道该从如何着手。尽管近几年来我在新课程教学设计方面做过一些探索，也尝试过一些新的教学理念和手段。然而，在我第一轮带高三时上市级公开课，难免心里会摸不着边际。采用怎样的教学方式才能打破陈规另辟蹊径呢？
时间紧迫，不容我多做思量。我认真解读了《浙江省数学学科教学指导意见》与《2010年浙江省普通高考考试说明》的相关内容。在初稿的教学设计中，我的设计教学流程如下：
教学案例
引入（从一个简单的正方体的翻折说起）
在正方形SG1G2G3中E 、F 分别是G1G2及G2G3的中点,D 是EF 的中点, 现在沿SE 、SF 及EF 把这个
正方形折成一个四面体, 使G1、G2、G3三点重合, 重合后的点记为G. 那么, 在四面体S —EFG 中必有
(A)SG⊥△EFG 所在平面 (B)SD⊥△EFG 所在平面
(C)GF⊥△SEF 所在平面 (D)GD⊥△SEF 所在平面
试一试（做一个简单的变式翻折，让同学们小试牛刀）
如图所示，一张正方形的纸ABCD ，BD 是对角线, 过AB,CD 的中点E,F 的线段交BD 于O ，以EF 为棱，将正方形的纸翻折成直二面角，则COS ∠BOD 为______________
∆∆∆⊥ 例1:已知:E,F是正方形ABCD 的边
BC 和
CD 的中点, 分别沿AE,EF,AF 将ABE, ECF,
AFD 折起使B,C,D 三点重合于P 点, 如图,
(1)求证:APEF;
(2)求二面A-EF-角P 的大小.
F B
D
变式1 在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF
⊥BD 交BD 于E ，沿对角线BD 对折成直二面角A-BD-C, 连接AF
(1)求证：BD ⊥面AEF ；
(2) 求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值
变式2：在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF ⊥BD 交BD 于E ，连AC 交BD 于O, 沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C, 连接AF ，若AB ⊥CO
（1）求证：BD ⊥面AEF
(2）求二面角A-BD-C 大小的余弦值
真题再现
（2009. 浙江卷。理17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上
一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D
作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
课后练习
设正⊿ABC 的边长为2a,CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC,BC 边上的点，满足 ， 现将⊿ ABC沿CD 翻折成直二面角A-DC-B. (1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角B-AC-D 的正切值。
三、整改反思
完成初稿之后，我在教研组同事的帮助下，先在前一天进行了试教，结果却令自己大失所望。在具体的教学实施中，很多教学设计由于教学内容太多和时间仓促而流于形式，教学流程也显得既松散又臃肿。在当天下午，结合同事的意见，立即对教学设计进行了整改，得到了如下设计（详见最后附件）。
1、删减了一些多余而重复的练习，以压缩时间，从而可以留出充足的时间的探讨重点的问题。
2、调整了一些题目的顺序，变式1作为例题，变式2为变式1，例题改为变式2，课堂练习放到课后，可以作为调节之需。 3，重新设计了板书，把例题的解题过程进行了规范化教学，以起一个示范作用。
经过调整的教学流程，“整个面貌”都可谓焕然一新, 在上课的前一节我又进行了试上，比前一天好很多了, 最后上课的时候取得了圆满成功。
四、感悟
自参加工作以来，本人一直在勤勤恳恳努力着，不断地学习中，在此次市级观摩课中，我感到了从未有过的紧张和压力，深知自己担负责任的重大。通过对此课的多次的“磨”和“悟”，我所有的经历对我的成长帮助是最大的，真是不经历风雨怎么见彩虹呢。新课程理念下的高三复习课，要做到以下两点：
D A
B C D F A B F CE CF k CA CB
==
1. 要坚持“以新课标、教材为基础，以学生的发展为宗旨”的指导思想，树立正确的备课观，体现新课改理念。新课程标准认为，数学教学要充分满足学生的心里需求与情感体验，使学生在数学学习的过程中充满情趣和探索，使数学教学真正实现以知识中心向学生发展为中心的转变。
2. 要充分发挥同备课组的作用。教师们坐在一起对课的重点、难点进行研讨以及讨论这节课该怎样上，每个人可能都有自己的方法，年轻人思维活跃，老教师经验丰富，通过交流，大家可以取长补短，帮助自己加深对教材的理解，拓展教学思路，最终形成最佳的课堂教学方案。
通过这次观摩课课，我充分地认识到了自己的成长与不足，作为一个教学新丁，我还有很长的路要走。坚持新课程理念，夯实自己的功底，把握课改的脉搏，在广阔的课改天空下找到属于自己的位置，将是我奋斗的目标！
（附件）
高三二轮复习学案立体几何中的折叠问题
时间： 4月21日 执教者：嵊州市黄泽中学 竺鑫炎
【复习目标】掌握折叠问题中有关线面的证明方法，并会求空间角，会用平面展开图解决立体几何中有关问题。
【教学设计】
引入：
如图所示，一张正方形的纸ABCD ，BD 是对角线, 过AB,CD 的中点E,F 的线段交BD 于O ，以EF 为棱，将正方形的纸翻折成直二面角，则COS ∠BOD 为
例 在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF ⊥BD 交BD 于E ，沿对角线BD 对折成直二面角A-BD-C,
连接AF (1)求证：BD ⊥面AEF ；
(2) 求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值
变式1：在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF ⊥BD 交BD 于E ，连AC 交BD 于O, 沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C, 连接AF ，若AB ⊥CO
（1）求证：BD ⊥面AEF
(2）求二面角A-BD-C 大小的余弦值
变式2：在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C, 连接AC ，使面ABC ⊥面BCD ，
B
D A
B
C D
F A B F
D
求证：AB ⊥CD; （2）求二面角C-AB-D 大小的正弦值
真题再现
（2009. 浙江卷。理17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上
一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D
作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
【课堂小结】
【作业设计】
【课后思考】
设正⊿ABC 的边长为2a,CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC,BC 边上的点，满足 ， 现将⊿ ABC沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.
(1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角B-AC-D 的正切值。
A B C
D B A
CE CF k CA CB
==
不经历风雨怎么见彩虹
-------一节市级观摩课诞生记 竺鑫炎
E F
B C D E F 2010年4月，嵊州市高三数学教研活动在我校举行，本人非常有幸地在此活动中上了一节观摩课，讲授的是高三二轮复习中《立体几何中的折叠问题》的内容。以下是我上课完成后得到的点点心得体会——不经历风雨怎么见彩虹。
一、教学背景
高考试卷中对学生空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，立体几何试题经常会出现折叠问题。而折叠问题除考查立体几何中本身的线面关系外，又能与空间向量，解析几何，最值等问题结合，从而进行学科内综合考查，体现标准中“在知识的交汇点设计试题”。“强调试题的综合性，注重学科的内在的联系和知识的综合”。因此，立体几何折叠问题是高考复习的重点内容之一，研究其解题思路，掌握方法，抓住关键，对高考复习指导工作有及其主要的意义。立几中有许多形式各异的折叠间题. 一个平面图形经折叠后成为一个空间图形, 此时图形的结构发生了突变, 从二维的平面图形一跃成为三维的空间图形。这就带来两个问题, 其一是空间想象问题, 即折叠后的图形究竟具有什么祥的结构的图形, 这需要有空间想象力的基础。其二, 由于图形结构的抽象性，这需要有较强的动手绘图能力。本人就几个常见的平面图形的折叠问题，来探究要解决折叠问题的基本方法。
二、背水一战
从知道要上课到4月21日上课，是一段饱受煎熬的历程，每天寝食难安。不知道该从如何着手。尽管近几年来我在新课程教学设计方面做过一些探索，也尝试过一些新的教学理念和手段。然而，在我第一轮带高三时上市级公开课，难免心里会摸不着边际。采用怎样的教学方式才能打破陈规另辟蹊径呢？
时间紧迫，不容我多做思量。我认真解读了《浙江省数学学科教学指导意见》与《2010年浙江省普通高考考试说明》的相关内容。在初稿的教学设计中，我的设计教学流程如下：
教学案例
引入（从一个简单的正方体的翻折说起）
在正方形SG1G2G3中E 、F 分别是G1G2及G2G3的中点,D 是EF 的中点, 现在沿SE 、SF 及EF 把这个
正方形折成一个四面体, 使G1、G2、G3三点重合, 重合后的点记为G. 那么, 在四面体S —EFG 中必有
(A)SG⊥△EFG 所在平面 (B)SD⊥△EFG 所在平面
(C)GF⊥△SEF 所在平面 (D)GD⊥△SEF 所在平面
试一试（做一个简单的变式翻折，让同学们小试牛刀）
如图所示，一张正方形的纸ABCD ，BD 是对角线, 过AB,CD 的中点E,F 的线段交BD 于O ，以EF 为棱，将正方形的纸翻折成直二面角，则COS ∠BOD 为______________
∆∆∆⊥ 例1:已知:E,F是正方形ABCD 的边
BC 和
CD 的中点, 分别沿AE,EF,AF 将ABE, ECF,
AFD 折起使B,C,D 三点重合于P 点, 如图,
(1)求证:APEF;
(2)求二面A-EF-角P 的大小.
F B
D
变式1 在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF
⊥BD 交BD 于E ，沿对角线BD 对折成直二面角A-BD-C, 连接AF
(1)求证：BD ⊥面AEF ；
(2) 求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值
变式2：在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF ⊥BD 交BD 于E ，连AC 交BD 于O, 沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C, 连接AF ，若AB ⊥CO
（1）求证：BD ⊥面AEF
(2）求二面角A-BD-C 大小的余弦值
真题再现
（2009. 浙江卷。理17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上
一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D
作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
课后练习
设正⊿ABC 的边长为2a,CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC,BC 边上的点，满足 ， 现将⊿ ABC沿CD 翻折成直二面角A-DC-B. (1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角B-AC-D 的正切值。
三、整改反思
完成初稿之后，我在教研组同事的帮助下，先在前一天进行了试教，结果却令自己大失所望。在具体的教学实施中，很多教学设计由于教学内容太多和时间仓促而流于形式，教学流程也显得既松散又臃肿。在当天下午，结合同事的意见，立即对教学设计进行了整改，得到了如下设计（详见最后附件）。
1、删减了一些多余而重复的练习，以压缩时间，从而可以留出充足的时间的探讨重点的问题。
2、调整了一些题目的顺序，变式1作为例题，变式2为变式1，例题改为变式2，课堂练习放到课后，可以作为调节之需。 3，重新设计了板书，把例题的解题过程进行了规范化教学，以起一个示范作用。
经过调整的教学流程，“整个面貌”都可谓焕然一新, 在上课的前一节我又进行了试上，比前一天好很多了, 最后上课的时候取得了圆满成功。
四、感悟
自参加工作以来，本人一直在勤勤恳恳努力着，不断地学习中，在此次市级观摩课中，我感到了从未有过的紧张和压力，深知自己担负责任的重大。通过对此课的多次的“磨”和“悟”，我所有的经历对我的成长帮助是最大的，真是不经历风雨怎么见彩虹呢。新课程理念下的高三复习课，要做到以下两点：
D A
B C D F A B F CE CF k CA CB
==
1. 要坚持“以新课标、教材为基础，以学生的发展为宗旨”的指导思想，树立正确的备课观，体现新课改理念。新课程标准认为，数学教学要充分满足学生的心里需求与情感体验，使学生在数学学习的过程中充满情趣和探索，使数学教学真正实现以知识中心向学生发展为中心的转变。
2. 要充分发挥同备课组的作用。教师们坐在一起对课的重点、难点进行研讨以及讨论这节课该怎样上，每个人可能都有自己的方法，年轻人思维活跃，老教师经验丰富，通过交流，大家可以取长补短，帮助自己加深对教材的理解，拓展教学思路，最终形成最佳的课堂教学方案。
通过这次观摩课课，我充分地认识到了自己的成长与不足，作为一个教学新丁，我还有很长的路要走。坚持新课程理念，夯实自己的功底，把握课改的脉搏，在广阔的课改天空下找到属于自己的位置，将是我奋斗的目标！
（附件）
高三二轮复习学案立体几何中的折叠问题
时间： 4月21日 执教者：嵊州市黄泽中学 竺鑫炎
【复习目标】掌握折叠问题中有关线面的证明方法，并会求空间角，会用平面展开图解决立体几何中有关问题。
【教学设计】
引入：
如图所示，一张正方形的纸ABCD ，BD 是对角线, 过AB,CD 的中点E,F 的线段交BD 于O ，以EF 为棱，将正方形的纸翻折成直二面角，则COS ∠BOD 为
例 在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF ⊥BD 交BD 于E ，沿对角线BD 对折成直二面角A-BD-C,
连接AF (1)求证：BD ⊥面AEF ；
(2) 求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值
变式1：在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 过A 作AF ⊥BD 交BD 于E ，连AC 交BD 于O, 沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C, 连接AF ，若AB ⊥CO
（1）求证：BD ⊥面AEF
(2）求二面角A-BD-C 大小的余弦值
变式2：在矩形ABCD 中,AB=2, ∠ABD=60°, 沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C, 连接AC ，使面ABC ⊥面BCD ，
B
D A
B
C D
F A B F
D
求证：AB ⊥CD; （2）求二面角C-AB-D 大小的正弦值
真题再现
（2009. 浙江卷。理17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上
一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D
作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
【课堂小结】
【作业设计】
【课后思考】
设正⊿ABC 的边长为2a,CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC,BC 边上的点，满足 ， 现将⊿ ABC沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.
(1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角B-AC-D 的正切值。
A B C
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CE CF k CA CB
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