1 山重水复疑无路，柳暗花明又一村
——例谈高中数学解题中的“换位思考”
聊城市水城中学仇凤春
在日常生活人际交往中，往往产生矛盾和冲突，站在自己的角度很难解决，真是山重水复疑无路，但是站在别人的角度想想，换位思考可能就是柳暗花明又一村。换位思考带来的是换个角度看问题，很多问题很快就豁然开朗、迎刃而解了。这种换个角度审视问题其实是体现了对问题的转化，更体现了一个人灵活解决问题的能力。数学解题中也常常遇到类似的问题，下面几个问题都可以从多个角度去思考，或许对学生思维能力的提高有所帮助。
例1、当k ∈(1,4) 时不等式x 2－kx －k>0恒成立, 求x 的范围
分析：本题的解答，很多学生按照思维定势将x 看成自变量研究函数f(x)=x2-kx-k 的最小值，从而去对y=f(x)对称轴2
k x =相对于区间k ∈(1,4)讨论解决，求解将十分繁琐，极易出错，费了九牛二虎之力才能做出来。 若转换角度，则柳暗花明，解法如下：
整理得k(x+1)-x2<0，令f(k)= k(x+1)-2x
则22f =x0f (4)4(1) x x
⎧≤⎨=+-⎩（1）+1-x 解得x ≧
2+x ≦
2-注：以上例1的解法中我们实际上是把k 作为自变量,x 作为参数。转化为关于k 的一次函数，对于满足所有实数k ∈(1,4)，f(k) ﹥0恒成立考虑的，一步转化给人“拨开乌云见月明”的感觉。这种“换位思考”的求解法，体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系。我们再看一个例子： 例2、若关于x 的方程有不小于2的实根，则的最小值为多少？
分析：正常以x 为变量时，对于一元二次方程，需对该方程在区间上实根的个数进行分类讨论，并作出所得不等式组表示的平面区域，而的几何意义是该平面区域内的点到原点的距离的平方，从而求最小值。 02=++b ax x
22b a +02=++b ax x [)+∞, 222b a +
2 倘若注意到原方程是关于a,b 的二元一次方程，故尝试以a,b 为变量，x 为参数，那么可以看做是关于a 、b 的直线方程，的几何意义是该直线上的点到原点的距离的平方。故可将此最小值表示为参数x 的函数表达式，最后求得此函数的最小值。
原方程可看做关于a 、b 的直线方程2:0l xa b x ++=，22a b +的几何意义是直线l 上的点（a ，b ）到原点（0,0）的距离的平方。
故2
4
2221x a b x +≥=+ 当2x ≥时，2114x ≤，因而422221161511x x x x =≥+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
故所求最小值为165
。 注：第二种解法可谓是换位思考，将a ，b 视为变量，原本代数形式的方程，就赋予了直线这一几何背景，用数形结合的方式求解。
在解决数学问题的过程中，我们往往把需要解决的问题进行——转化，将复杂的问题转化为简单的问题，把难以解决的问题转化比较容易解决的问题，把没有解决的问题转化为已解决的问题。下面的问题就是利用结构的对称性，将常量化变量，成功解决问题的范例。
例3、设c b a ，，为三角形的三边 求证：c
b a c b a b a c a c b ++≥-++-++-+9111。 证明：设z c b a y b a c x a c b =-+=-+=-+，，。
则+∈R z y x ，，，且z y x c b a ++=++
03>≥++xyz z y x
02=++⋅x b a x 22b a +
3 111x y z ++≥913) 111)(=⋅⋅≥++++∴xyz
xyz z y x z y x （ c
b a c b a b a c a c b ++≥-++-++-+∴9111 数学思想、数学思维方法和解题基本方法是提升学生能力的关键，在近年的高考考卷中转化的数学思想也经常进行考查。下面的反证法，正难则反的思路也体现了数学中的换位思考。
例4、2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）试题节选
已知函数() f x =ax e x =-，其中a ≠0在函数() f x 的图像上取定两点11(, ()) A x f x ，22(, ()) B x f x 12() x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0() f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析：可以用反证法简洁得证其存在性，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。
解：
作辅助函数：11() (x)() f(x) F x f k x x =---，
显然12() () 0F x F x ==，
假设不存在，即12(, ) x x x ∀∈都有() k f x '≤，即() 0F x '≤，故() F x 单调递减 而1(x) 0F =，2(x) 0F =，所以() 0F x ≡，即11(x)() f(x) f k x x =--
这与() f x =ax e x =-矛盾。故假设不成立，原结论得证 下求其范围，由题意知，21212121
() () 1. ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121() () ax ax ax
e e x f x k ae x x ϕ-'=-=-- 则() 0x ϕ=解得：21211ln ()
ax ax e e k a a x x -=- 2() 0, () ax x a e x ϕϕ'=>单调递增。
4 因此，212211(ln , ) ()
ax ax e e x x a a x x -∈-时，0() f x k '> 综上所述，存在012(, ) x x x ∈使0() f x k '>成立，且0x 的取值范围为
212211(ln , ) ()
ax ax e e x a a x x --。 素质教育推行这几年来，已经向传统的数学教学提出了更高的要求，“换位思考”是一种转化、化归、正难则反的变通能力。只有在教师的教学中引导、点拨下，才能使学生真正感受到数学思想方法的奥妙，从而开拓学生的思维空间，优化学生的思维品质，提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]《数学解题中的“辩证法”》作者：唐仕和；《东华理工大学学报（社会科学版）》1992.
[2]《浅谈转化思想方法在高中数学解题中的应用》作者：林清；《福建教育学院学报》2008（12）:92-93
1 山重水复疑无路，柳暗花明又一村
——例谈高中数学解题中的“换位思考”
聊城市水城中学仇凤春
在日常生活人际交往中，往往产生矛盾和冲突，站在自己的角度很难解决，真是山重水复疑无路，但是站在别人的角度想想，换位思考可能就是柳暗花明又一村。换位思考带来的是换个角度看问题，很多问题很快就豁然开朗、迎刃而解了。这种换个角度审视问题其实是体现了对问题的转化，更体现了一个人灵活解决问题的能力。数学解题中也常常遇到类似的问题，下面几个问题都可以从多个角度去思考，或许对学生思维能力的提高有所帮助。
例1、当k ∈(1,4) 时不等式x 2－kx －k>0恒成立, 求x 的范围
分析：本题的解答，很多学生按照思维定势将x 看成自变量研究函数f(x)=x2-kx-k 的最小值，从而去对y=f(x)对称轴2
k x =相对于区间k ∈(1,4)讨论解决，求解将十分繁琐，极易出错，费了九牛二虎之力才能做出来。 若转换角度，则柳暗花明，解法如下：
整理得k(x+1)-x2<0，令f(k)= k(x+1)-2x
则22f =x0f (4)4(1) x x
⎧≤⎨=+-⎩（1）+1-x 解得x ≧
2+x ≦
2-注：以上例1的解法中我们实际上是把k 作为自变量,x 作为参数。转化为关于k 的一次函数，对于满足所有实数k ∈(1,4)，f(k) ﹥0恒成立考虑的，一步转化给人“拨开乌云见月明”的感觉。这种“换位思考”的求解法，体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系。我们再看一个例子： 例2、若关于x 的方程有不小于2的实根，则的最小值为多少？
分析：正常以x 为变量时，对于一元二次方程，需对该方程在区间上实根的个数进行分类讨论，并作出所得不等式组表示的平面区域，而的几何意义是该平面区域内的点到原点的距离的平方，从而求最小值。 02=++b ax x
22b a +02=++b ax x [)+∞, 222b a +
2 倘若注意到原方程是关于a,b 的二元一次方程，故尝试以a,b 为变量，x 为参数，那么可以看做是关于a 、b 的直线方程，的几何意义是该直线上的点到原点的距离的平方。故可将此最小值表示为参数x 的函数表达式，最后求得此函数的最小值。
原方程可看做关于a 、b 的直线方程2:0l xa b x ++=，22a b +的几何意义是直线l 上的点（a ，b ）到原点（0,0）的距离的平方。
故2
4
2221x a b x +≥=+ 当2x ≥时，2114x ≤，因而422221161511x x x x =≥+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
故所求最小值为165
。 注：第二种解法可谓是换位思考，将a ，b 视为变量，原本代数形式的方程，就赋予了直线这一几何背景，用数形结合的方式求解。
在解决数学问题的过程中，我们往往把需要解决的问题进行——转化，将复杂的问题转化为简单的问题，把难以解决的问题转化比较容易解决的问题，把没有解决的问题转化为已解决的问题。下面的问题就是利用结构的对称性，将常量化变量，成功解决问题的范例。
例3、设c b a ，，为三角形的三边 求证：c
b a c b a b a c a c b ++≥-++-++-+9111。 证明：设z c b a y b a c x a c b =-+=-+=-+，，。
则+∈R z y x ，，，且z y x c b a ++=++
03>≥++xyz z y x
02=++⋅x b a x 22b a +
3 111x y z ++≥913) 111)(=⋅⋅≥++++∴xyz
xyz z y x z y x （ c
b a c b a b a c a c b ++≥-++-++-+∴9111 数学思想、数学思维方法和解题基本方法是提升学生能力的关键，在近年的高考考卷中转化的数学思想也经常进行考查。下面的反证法，正难则反的思路也体现了数学中的换位思考。
例4、2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）试题节选
已知函数() f x =ax e x =-，其中a ≠0在函数() f x 的图像上取定两点11(, ()) A x f x ，22(, ()) B x f x 12() x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0() f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析：可以用反证法简洁得证其存在性，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。
解：
作辅助函数：11() (x)() f(x) F x f k x x =---，
显然12() () 0F x F x ==，
假设不存在，即12(, ) x x x ∀∈都有() k f x '≤，即() 0F x '≤，故() F x 单调递减 而1(x) 0F =，2(x) 0F =，所以() 0F x ≡，即11(x)() f(x) f k x x =--
这与() f x =ax e x =-矛盾。故假设不成立，原结论得证 下求其范围，由题意知，21212121
() () 1. ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121() () ax ax ax
e e x f x k ae x x ϕ-'=-=-- 则() 0x ϕ=解得：21211ln ()
ax ax e e k a a x x -=- 2() 0, () ax x a e x ϕϕ'=>单调递增。
4 因此，212211(ln , ) ()
ax ax e e x x a a x x -∈-时，0() f x k '> 综上所述，存在012(, ) x x x ∈使0() f x k '>成立，且0x 的取值范围为
212211(ln , ) ()
ax ax e e x a a x x --。 素质教育推行这几年来，已经向传统的数学教学提出了更高的要求，“换位思考”是一种转化、化归、正难则反的变通能力。只有在教师的教学中引导、点拨下，才能使学生真正感受到数学思想方法的奥妙，从而开拓学生的思维空间，优化学生的思维品质，提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]《数学解题中的“辩证法”》作者：唐仕和；《东华理工大学学报（社会科学版）》1992.
[2]《浅谈转化思想方法在高中数学解题中的应用》作者：林清；《福建教育学院学报》2008（12）:92-93