《平行线》同步数学

一、填空

1、线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点，直线（ ）端点。

2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（ ）。

3. 、在同一平面内，两条不相交的直线互相（ ）。相交成（ ）角时，两条直线互相垂直。

4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（ ）线段最短。

5、 数学书相邻的两条边互相（ ），上下的两条边互相（ ）。

6、 在一个正方形中有（ ）组对边互相平行。

右图中有4条直线a,b,c,d, 其中 （ ）和（ ）互相平行

（ ）和（ ）互相垂直

c

7、在同一个平面内，两条直线和位置关系如果不平行，那它们肯定（ ）。

8、同一平面内，直线a 与直线b 互相垂直，直线c 与直线a 互相垂直，那么直线b 与直c 的关系是（ ）。

9、经过一点可以画（ ）条直线；经过两点可以画（ ）条直线．

10、一束鲜花20元，买4束送1束。李阿姨一次买4束，每束便宜（ ）元。

二、判断对错。

1、小方在纸上画了一条平行线。……（ ）

2、永不相交的两条直线叫做平行线。………（ ）

3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。………（ ）

4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直。……（ ）

5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。………（ ）

6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直。………（ ）

7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。………（ ）

8、 平行线间的距离处处相等。（ ）

9、 从直线外一点到这条直线只能做一条垂线。（ ）

10、两条平行线之间只能作一条垂线。 （ ）

三、选择。

1、两条平行线之间的（ ）最短。

A 、线段 B、直线 C、垂线段

2、正方形的相邻两边互相 （ ）

A 、垂直 B、平行 C、重合

3、右图中有（ ） 组平行线。

A 、2 B、3 C、4

4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（ ）∠2。

A 、大于 B、小于 C、等于 D、无法判断

5、 两条直线互相垂直，这两条直线相交成（ ）°的角．

A 180° B 90° C 45°

6、在同一平面内不重合的两条直线（ ）

A 相交 B 平行 C 不相交就平行

四、动手实践，操作应用。

1、过A 点画已知直线的平行线。

A ·

A ·

A · 过A 点画已知直线的垂线。

A ·

A ·

A ·

过A 点画已知直线的平行线和垂线。

·A

·A

A ·

过A 点分别画出a 、b 两直线的平行线和垂线。

A · a

五、应用题

1、 学校开展节约用水活动，前3个月共节约用水435吨。照这样计算，学校一年能节约用水多少吨？

2、 实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元？

3、学校买来30套桌椅，桌子的单价是45元，椅子的单价是18元，学校买桌椅花了多少元？

4、 用一个杯子向一个空瓶倒水，如果倒进4杯水，连瓶共重520克；倒进9杯水连瓶共重920克．一杯水和一个空瓶各重多少克？

《平行线》同步数学

一、填空

1、线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点，直线（ ）端点。

2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（ ）。

3. 、在同一平面内，两条不相交的直线互相（ ）。相交成（ ）角时，两条直线互相垂直。

4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（ ）线段最短。

5、 数学书相邻的两条边互相（ ），上下的两条边互相（ ）。

6、 在一个正方形中有（ ）组对边互相平行。

右图中有4条直线a,b,c,d, 其中 （ ）和（ ）互相平行

（ ）和（ ）互相垂直

c

7、在同一个平面内，两条直线和位置关系如果不平行，那它们肯定（ ）。

8、同一平面内，直线a 与直线b 互相垂直，直线c 与直线a 互相垂直，那么直线b 与直c 的关系是（ ）。

9、经过一点可以画（ ）条直线；经过两点可以画（ ）条直线．

10、一束鲜花20元，买4束送1束。李阿姨一次买4束，每束便宜（ ）元。

二、判断对错。

1、小方在纸上画了一条平行线。……（ ）

2、永不相交的两条直线叫做平行线。………（ ）

3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。………（ ）

4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直。……（ ）

5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。………（ ）

6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直。………（ ）

7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。………（ ）

8、 平行线间的距离处处相等。（ ）

9、 从直线外一点到这条直线只能做一条垂线。（ ）

10、两条平行线之间只能作一条垂线。 （ ）

三、选择。

1、两条平行线之间的（ ）最短。

A 、线段 B、直线 C、垂线段

2、正方形的相邻两边互相 （ ）

A 、垂直 B、平行 C、重合

3、右图中有（ ） 组平行线。

A 、2 B、3 C、4

4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（ ）∠2。

A 、大于 B、小于 C、等于 D、无法判断

5、 两条直线互相垂直，这两条直线相交成（ ）°的角．

A 180° B 90° C 45°

6、在同一平面内不重合的两条直线（ ）

A 相交 B 平行 C 不相交就平行

四、动手实践，操作应用。

1、过A 点画已知直线的平行线。

A ·

A ·

A · 过A 点画已知直线的垂线。

A ·

A ·

A ·

过A 点画已知直线的平行线和垂线。

·A

·A

A ·

过A 点分别画出a 、b 两直线的平行线和垂线。

A · a

五、应用题

1、 学校开展节约用水活动，前3个月共节约用水435吨。照这样计算，学校一年能节约用水多少吨？

2、 实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元？

3、学校买来30套桌椅，桌子的单价是45元，椅子的单价是18元，学校买桌椅花了多少元？

4、 用一个杯子向一个空瓶倒水，如果倒进4杯水，连瓶共重520克；倒进9杯水连瓶共重920克．一杯水和一个空瓶各重多少克？

一、填空

1、线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点，直线（ ）端点。

2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（ ）。

3. 、在同一平面内，两条不相交的直线互相（ ）。相交成（ ）角时，两条直线互相垂直。

4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（ ）线段最短。

5、 数学书相邻的两条边互相（ ），上下的两条边互相（ ）。

6、 在一个正方形中有（ ）组对边互相平行。

右图中有4条直线a,b,c,d, 其中 （ ）和（ ）互相平行

（ ）和（ ）互相垂直

c

7、在同一个平面内，两条直线和位置关系如果不平行，那它们肯定（ ）。

8、同一平面内，直线a 与直线b 互相垂直，直线c 与直线a 互相垂直，那么直线b 与直c 的关系是（ ）。

9、经过一点可以画（ ）条直线；经过两点可以画（ ）条直线．

10、一束鲜花20元，买4束送1束。李阿姨一次买4束，每束便宜（ ）元。

二、判断对错。

1、小方在纸上画了一条平行线。……（ ）

2、永不相交的两条直线叫做平行线。………（ ）

3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。………（ ）

4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直。……（ ）

5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。………（ ）

6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直。………（ ）

7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。………（ ）

8、 平行线间的距离处处相等。（ ）

9、 从直线外一点到这条直线只能做一条垂线。（ ）

10、两条平行线之间只能作一条垂线。 （ ）

三、选择。

1、两条平行线之间的（ ）最短。

A 、线段 B、直线 C、垂线段

2、正方形的相邻两边互相 （ ）

A 、垂直 B、平行 C、重合

3、右图中有（ ） 组平行线。

A 、2 B、3 C、4

4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（ ）∠2。

A 、大于 B、小于 C、等于 D

、无法判断 5、 两条直线互相垂直，这两条直线相交成（ ）°的角．

A 180° B 90° C 45°

6、在同一平面内不重合的两条直线（ ）

A 相交 B 平行 C 不相交就平行

四、动手实践，操作应用。

1、过A 点画已知直线的平行线。

A ·

A ·

A · 过A 点画已知直线的垂线。

A ·

A · A ·

过A 点画已知直线的平行线和垂线。

·A

·A A ·

过A 点分别画出a 、b 两直线的平行线和垂线。

A · a

五、应用题

1、 学校开展节约用水活动，前3个月共节约用水435吨。照这样计算，学校一年能节约用水多少吨？

2、 实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元？

3、学校买来30套桌椅，桌子的单价是45元，椅子的单价是18元，学校买桌椅花了多少元？

4、 用一个杯子向一个空瓶倒水，如果倒进4杯水，连瓶共重520克；倒进9杯水连瓶共重920克．一杯水和一个空瓶各重多少克？

一、填空

1、线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点，直线（ ）端点。

2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（ ）。

3. 、在同一平面内，两条不相交的直线互相（ ）。相交成（ ）角时，两条直线互相垂直。

4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（ ）线段最短。

5、 数学书相邻的两条边互相（ ），上下的两条边互相（ ）。

6、 在一个正方形中有（ ）组对边互相平行。

右图中有4条直线a,b,c,d, 其中 （ ）和（ ）互相平行

（ ）和（ ）互相垂直

c

7、在同一个平面内，两条直线和位置关系如果不平行，那它们肯定（ ）。

8、同一平面内，直线a 与直线b 互相垂直，直线c 与直线a 互相垂直，那么直线b 与直c 的关系是（ ）。

9、经过一点可以画（ ）条直线；经过两点可以画（ ）条直线．

10、一束鲜花20元，买4束送1束。李阿姨一次买4束，每束便宜（ ）元。

二、判断对错。

1、小方在纸上画了一条平行线。……（ ）

2、永不相交的两条直线叫做平行线。………（ ）

3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。………（ ）

4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直。……（ ）

5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。………（ ）

6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直。………（ ）

7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。………（ ）

8、 平行线间的距离处处相等。（ ）

9、 从直线外一点到这条直线只能做一条垂线。（ ）

10、两条平行线之间只能作一条垂线。 （ ）

三、选择。

1、两条平行线之间的（ ）最短。

A 、线段 B、直线 C、垂线段

2、正方形的相邻两边互相 （ ）

A 、垂直 B、平行 C、重合

3、右图中有（ ） 组平行线。

A 、2 B、3 C、4

4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（ ）∠2。

A 、大于 B、小于 C、等于 D

、无法判断 5、 两条直线互相垂直，这两条直线相交成（ ）°的角．

A 180° B 90° C 45°

6、在同一平面内不重合的两条直线（ ）

A 相交 B 平行 C 不相交就平行

四、动手实践，操作应用。

1、过A 点画已知直线的平行线。

A ·

A ·

A · 过A 点画已知直线的垂线。

A ·

A · A ·

过A 点画已知直线的平行线和垂线。

·A

·A A ·

过A 点分别画出a 、b 两直线的平行线和垂线。

A · a

五、应用题

1、 学校开展节约用水活动，前3个月共节约用水435吨。照这样计算，学校一年能节约用水多少吨？

2、 实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元？

3、学校买来30套桌椅，桌子的单价是45元，椅子的单价是18元，学校买桌椅花了多少元？

4、 用一个杯子向一个空瓶倒水，如果倒进4杯水，连瓶共重520克；倒进9杯水连瓶共重920克．一杯水和一个空瓶各重多少克？

白白的夜 黑黑的笑 苍颜地卧坐在窗前 回旋脑海 望见曾经划过 然后 丢在这里 与现在相交

月光吃力地照亮城市 星光配合地演戏 带着人面具的鱼 看不起 未染色的红霞 与烦恼平行的事 丢在这里 转身 隔着透明玻璃 寻匿往事

相交的平行线 被扭曲 丢在这里

白白的夜 黑黑的笑 苍颜地卧坐在窗前 回旋脑海 望见曾经划过 然后 丢在这里 与现在相交

月光吃力地照亮城市 星光配合地演戏 带着人面具的鱼 看不起 未染色的红霞 与烦恼平行的事 丢在这里 转身 隔着透明玻璃 寻匿往事

相交的平行线 被扭曲 丢在这里

她的左手和右手，可以同时画出不同的图案，那样的不可思议。

于是左边有了冰，右边便有了火。

于是有了两条永不交叉的平行线。

再于是，有了我生命中的冰点和沸点。

同样的面容，一个是冰山般气质冷漠的贵公子，另一个却是火焰般放肆的恶魔。

承诺过的爱，只属于我一个人的爱……

承诺过的自由，在天幕中无尽翱翔的自由……

任性固执的我却终究还是什么都没有得到。

……是不是注定要夹在两个人之间？

……是不是注定要永远一个人？

得到了平静，却丧失了自由，

邂逅两条平行线，然后一个人，继续，永无止尽地延伸……

飘雪的街道，

成双成对的人们，

结满冰霜的橱窗上倒映着

一个人的我

记忆回到那年的夏天

泛白的日光下神秘的背影

清朗的月光下邪魅的笑容

永不相交的白天和黑夜，

却被我这个旅人

意外地邂逅

淡淡的风变得燥热变得肆虐

变成旋涡……

是在什么时候

玻璃上那么苦涩的笑容

是我吗？

是那个任性固执的我吗？

那样揪心的痛苦

是来自这颗脆弱的心吗？

明明有过快乐却不愿承认的我

把你带给我的痛苦固执地夸大的我

最后剩下的

只有迷惘

从浅青的草坪一直延伸至海的，

无尽的迷惘

淡淡的风变得燥热变得肆虐

变成旋涡……

是在什么时候

玻璃上那么苦涩的笑容

是我吗？

是那个任性固执的我吗？

那样揪心的痛苦

是来自这颗脆弱的心吗？

她的左手和右手，可以同时画出不同的图案，那样的不可思议。

于是左边有了冰，右边便有了火。

于是有了两条永不交叉的平行线。

再于是，有了我生命中的冰点和沸点。

同样的面容，一个是冰山般气质冷漠的贵公子，另一个却是火焰般放肆的恶魔。

承诺过的爱，只属于我一个人的爱……

承诺过的自由，在天幕中无尽翱翔的自由……

任性固执的我却终究还是什么都没有得到。

……是不是注定要夹在两个人之间？

……是不是注定要永远一个人？

得到了平静，却丧失了自由，

邂逅两条平行线，然后一个人，继续，永无止尽地延伸……

飘雪的街道，

成双成对的人们，

结满冰霜的橱窗上倒映着

一个人的我

记忆回到那年的夏天

泛白的日光下神秘的背影

清朗的月光下邪魅的笑容

永不相交的白天和黑夜，

却被我这个旅人

意外地邂逅

淡淡的风变得燥热变得肆虐

变成旋涡……

是在什么时候

玻璃上那么苦涩的笑容

是我吗？

是那个任性固执的我吗？

那样揪心的痛苦

是来自这颗脆弱的心吗？

明明有过快乐却不愿承认的我

把你带给我的痛苦固执地夸大的我

最后剩下的

只有迷惘

从浅青的草坪一直延伸至海的，

无尽的迷惘

淡淡的风变得燥热变得肆虐

变成旋涡……

是在什么时候

玻璃上那么苦涩的笑容

是我吗？

是那个任性固执的我吗？

那样揪心的痛苦

是来自这颗脆弱的心吗？

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七年级数学（下） 组别_____ 姓名 _____ 主备人：王亚辰 日期：2015/3/12

【例题与讲解】1.3平行线的判定 导学案

1．平行线的判定公理

(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．．．．．．．．．．．

． 如图，推理符号表示为：

∵∠1＝∠2，

∴AB ∥CD ．（ 同位角相等，两直线平行）

①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系) 来确定两条直线平行(位置关系) ，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．

(2)平行公理的推论：

①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；

②平行于同一条直线的两条直线平行．若a ∥b ，c ∥b ，则a ∥c ．

【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB 和CD 是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB 和∠GFD 的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB 和∠GFD 满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？

2．平行线的判定定理

(1)判定定理1

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简单记为：同旁内角互补，两直线平行．．．．．．．．．．．．

． 符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，

∴AB ∥CD ．（同旁内角互补，两直线平行）

①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应

用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．

(2)判定定理2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简单记为：内错角相等，两直线平行．．．．．．．．．．．．．

符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB ∥CD ．（内错角相等，两直线平行）

2 / 4

【例2-1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板

的边缘画直线AB 和CD ，这是根据 ，两直

线平行．

【例2-2】 如图，下列说法中，正确的是( ) ．

A ．因为∠A ＋∠D ＝180°，所以AD ∥BC

B ．因为∠C ＋∠D ＝180°，所以AB ∥CD

C ．因为∠A ＋∠D ＝180°，所以AB ∥CD

D ．因为∠A ＋∠C ＝180°，所以AB ∥CD

3．平行线的判断方法（6种）

析规律 如何选择判定两直线平行的方法

①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；

②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．

【例3-1】如图⑩

∵∠B=∠_______，∴ AB ∥CD （ ）

∵∠BGC=∠_______，∴ CD ∥EF （ ） ∵AB ∥CD ，CD ∥EF ，∴AB ∥____（ ）

【例3-2】如图，已知DE 平分AF BDF , ∠平分BAC ∠，且21∠=∠，

试说明AC DF //．

3 / 4

4．平行线判定的应用

(1)平行线的生活应用

数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……

对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．

(2)平行线在数学中的运用

平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．

释疑点 判定平行的关键

判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．

【例4－1】 如图，一个零件ABCD 需要AB 边与CD 边平行，现

只有一个量角器，测得拐角∠ABC ＝120°，∠BCD ＝60°，这个零

件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．

【例4－2】 已知：如图在四边形ABCD 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，

试判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由．

【当堂反馈】

1、下列说法正确的有（ ）

①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内, 不相交的两条线段平行

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ④若a ∥b,b ∥c, 则a 与c 不相交.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、在同一平面内, 两条不重合直线的位置关系可能是（ ）

A. 平行或相交 B. 垂直或相交 C. 垂直或平行 D. 平行、垂直或相交

3、如图所示, 能判断AB ∥CE 的条件是（ ）

E

C A

4 / 4

A. ∠A=∠ACE B. ∠A=∠ECD C. ∠B=∠BCA D. ∠B=∠ACE

4. 已知如图AB 、BE 被AC 所截，下列说法不正确的是（ ） A ．1∠与2∠是同旁内角 B ．1∠与ACE ∠是内错角 C ．B ∠与ACB ∠是同位角 D ． 1∠与3∠不是同位角

5. 如图，直线a 、b 与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2, ②∠3

＝∠6, ③∠4＋∠7＝

180°, ④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a ∥b 的是( )

A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④

6. 如图，AC 、BC 分别平分∠DAB 、∠ABE ，且∠1与∠2互余， 则______∥_______，理由是________________________________。 7．在横线上填空，并在括号内填写理由．

（1）31∠=∠ ∴____//____（ ） （2）32∠=∠ ∴____//____（ ） 8. 如图所示, 已知∠1=∠2,AB 平分∠DAB, 试说明DC ∥AB.

9. 如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 三点在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE 是∠DAC 的平分线，直线AE 、BC 平行吗？请说明理由。

10. 如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，如果∠BMN ＝∠D NF，∠1＝∠2，那么MQ ∥NP ，试写出推理过程。

b

a 54

1H

G

E

C A E

D C

B P

Q

M

N F

E

D

C

B A

1 / 4

七年级数学（下） 组别_____ 姓名 _____ 主备人：王亚辰 日期：2015/3/12

【例题与讲解】1.3平行线的判定 导学案

1．平行线的判定公理

(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．．．．．．．．．．．

． 如图，推理符号表示为：

∵∠1＝∠2，

∴AB ∥CD ．（ 同位角相等，两直线平行）

①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系) 来确定两条直线平行(位置关系) ，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．

(2)平行公理的推论：

①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；

②平行于同一条直线的两条直线平行．若a ∥b ，c ∥b ，则a ∥c ．

【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB 和CD 是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB 和∠GFD 的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB 和∠GFD 满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？

2．平行线的判定定理

(1)判定定理1

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简单记为：同旁内角互补，两直线平行．．．．．．．．．．．．

． 符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，

∴AB ∥CD ．（同旁内角互补，两直线平行）

①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应

用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．

(2)判定定理2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简单记为：内错角相等，两直线平行．．．．．．．．．．．．．

符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB ∥CD ．（内错角相等，两直线平行）

2 / 4

【例2-1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板

的边缘画直线AB 和CD ，这是根据 ，两直

线平行．

【例2-2】 如图，下列说法中，正确的是( ) ．

A ．因为∠A ＋∠D ＝180°，所以AD ∥BC

B ．因为∠C ＋∠D ＝180°，所以AB ∥CD

C ．因为∠A ＋∠D ＝180°，所以AB ∥CD

D ．因为∠A ＋∠C ＝180°，所以AB ∥CD

3．平行线的判断方法（6种）

析规律 如何选择判定两直线平行的方法

①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；

②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．

【例3-1】如图⑩

∵∠B=∠_______，∴ AB ∥CD （ ）

∵∠BGC=∠_______，∴ CD ∥EF （ ） ∵AB ∥CD ，CD ∥EF ，∴AB ∥____（ ）

【例3-2】如图，已知DE 平分AF BDF , ∠平分BAC ∠，且21∠=∠，

试说明AC DF //．

3 / 4

4．平行线判定的应用

(1)平行线的生活应用

数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……

对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．

(2)平行线在数学中的运用

平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．

释疑点 判定平行的关键

判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．

【例4－1】 如图，一个零件ABCD 需要AB 边与CD 边平行，现

只有一个量角器，测得拐角∠ABC ＝120°，∠BCD ＝60°，这个零

件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．

【例4－2】 已知：如图在四边形ABCD 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，

试判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由．

【当堂反馈】

1、下列说法正确的有（ ）

①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内, 不相交的两条线段平行

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ④若a ∥b,b ∥c, 则a 与c 不相交.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、在同一平面内, 两条不重合直线的位置关系可能是（ ）

A. 平行或相交 B. 垂直或相交 C. 垂直或平行 D. 平行、垂直或相交

3、如图所示, 能判断AB ∥CE 的条件是（ ）

E

C A

4 / 4

A. ∠A=∠ACE B. ∠A=∠ECD C. ∠B=∠BCA D. ∠B=∠ACE

4. 已知如图AB 、BE 被AC 所截，下列说法不正确的是（ ） A ．1∠与2∠是同旁内角 B ．1∠与ACE ∠是内错角 C ．B ∠与ACB ∠是同位角 D ． 1∠与3∠不是同位角

5. 如图，直线a 、b 与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2, ②∠3

＝∠6, ③∠4＋∠7＝

180°, ④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a ∥b 的是( )

A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④

6. 如图，AC 、BC 分别平分∠DAB 、∠ABE ，且∠1与∠2互余， 则______∥_______，理由是________________________________。 7．在横线上填空，并在括号内填写理由．

（1）31∠=∠ ∴____//____（ ） （2）32∠=∠ ∴____//____（ ） 8. 如图所示, 已知∠1=∠2,AB 平分∠DAB, 试说明DC ∥AB.

9. 如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 三点在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE 是∠DAC 的平分线，直线AE 、BC 平行吗？请说明理由。

10. 如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，如果∠BMN ＝∠D NF，∠1＝∠2，那么MQ ∥NP ，试写出推理过程。

b

a 54

1H

G

E

C A E

D C

B P

Q

M

N F

E

D

C

B A

对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线, 且这两个角有公共顶点, 那么这两个角是对顶角.

A

五、平移

平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

作图----平移变换

（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．

（2） （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

练习题

1. 平移改变的是图形的___________.

2. 火车在笔直的铁路上行驶，车头以100m/s的速度前进了半小时，则车尾走的路程_______km.

3. 经过平移的图形与原图形的对应点的连线段的关系是____________.

4. 如图5-137，△ABC 是由△ABC 平移得到的，△ABC 可以先向右平移_________格，再向_________平移_________格，得到△DEF.

5. 如图，矩形ABCD 中，AB=10 cm，BC=6 cm，将该矩形沿AB 方向平移_________后的矩形与原矩形重叠部分的面积为24 2cm .

6. —阵西南风吹来，使得湖面上一木板以每分钟60 cm的速度向前推进，则10min

后，木板

沿_________方向下移了_________ cm.

7. 将正方形ABCD 沿对角线AC 方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在AC 的中点O 处，则移动前后两个图形的重叠部分的面积为原正方形面积的_________.

对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线, 且这两个角有公共顶点, 那么这两个角是对顶角.

A

五、平移

平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

作图----平移变换

（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．

（2） （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

练习题

1. 平移改变的是图形的___________.

2. 火车在笔直的铁路上行驶，车头以100m/s的速度前进了半小时，则车尾走的路程_______km.

3. 经过平移的图形与原图形的对应点的连线段的关系是____________.

4. 如图5-137，△ABC 是由△ABC 平移得到的，△ABC 可以先向右平移_________格，再向_________平移_________格，得到△DEF.

5. 如图，矩形ABCD 中，AB=10 cm，BC=6 cm，将该矩形沿AB 方向平移_________后的矩形与原矩形重叠部分的面积为24 2cm .

6. —阵西南风吹来，使得湖面上一木板以每分钟60 cm的速度向前推进，则10min

后，木板

沿_________方向下移了_________ cm.

7. 将正方形ABCD 沿对角线AC 方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在AC 的中点O 处，则移动前后两个图形的重叠部分的面积为原正方形面积的_________.

穿过寂寞的长夜 与荒寒的沙漠 我一直————很爱你

“ 我相信是世间说共你都应该登对 我心里也许轻轻后退 沉淀里 来独对 期待的一个梦心醉 这个玄机为谁这一 愿我可以在你身边不失去 怕只怕忘记了怎去追 只需要拥紧你已不能流下泪 谁和你只好相对

走廊上传来一阵悦耳歌声，这里没有吵杂的打闹声，也没有伙伴们相互叫嚷的声音，只有流水般清澈 悠扬的声音，此时教室早已被人挤得水泄不通。的确，这是他与她，第一次见面，可能不算是正式的见面。他在人群中，他静静的看着，没有任何杂念 此时他只想 只想静静的听那首曲子。

或许，正是这首曲子，水样的声线穿透时空，在空旷的夜色中，仿佛是一个注定一样，在有如昙花的绽放中，为等待两人爱情的相遇拉开序幕。

那是一个深秋的夜晚，她无聊的在校园林荫小道上闲逛，天空有点儿灰黑，浓浓的乌云遮住了半钩的弯月，干枯的老树落下最后一片叶子。“如何让你遇见 ，我在佛前已苦苦求了500年…·”不远处传来咏唱席慕容《一棵开花的树》的声音，“那声音是那样的轻快那样的有磁性而不失沉稳，那一定是位男生吧。”女孩想到；“阳光下慎重的开满了花　请你细听那颤抖的叶 是我等待的热情…”女孩不经意的接上一句，却被男孩发现了。男孩一下子愣住了，那不是，那时候遇见的女孩麽。女孩似乎猜透了他的心思，看见他的傻样，不禁的笑了一下。男孩马上醒了过来，‘你，你也喜欢舒婷的诗麽？”他张红着脸，问道。男孩的举动更令她觉得他很特别女孩的声音是那样的清越，如小河般清澈，悠扬。“看来你 …”男孩说道没等男孩说完 女孩接了个电话后 就离开了。“喂，你叫什么名字呢？”男孩壮着胆子大喊一句。“晨柯

第一集完

写稿人：容震宇

官方网址

望大家多多捧场（持续更新中）

穿过寂寞的长夜 与荒寒的沙漠 我一直————很爱你

“ 我相信是世间说共你都应该登对 我心里也许轻轻后退 沉淀里 来独对 期待的一个梦心醉 这个玄机为谁这一 愿我可以在你身边不失去 怕只怕忘记了怎去追 只需要拥紧你已不能流下泪 谁和你只好相对

走廊上传来一阵悦耳歌声，这里没有吵杂的打闹声，也没有伙伴们相互叫嚷的声音，只有流水般清澈 悠扬的声音，此时教室早已被人挤得水泄不通。的确，这是他与她，第一次见面，可能不算是正式的见面。他在人群中，他静静的看着，没有任何杂念 此时他只想 只想静静的听那首曲子。

或许，正是这首曲子，水样的声线穿透时空，在空旷的夜色中，仿佛是一个注定一样，在有如昙花的绽放中，为等待两人爱情的相遇拉开序幕。

那是一个深秋的夜晚，她无聊的在校园林荫小道上闲逛，天空有点儿灰黑，浓浓的乌云遮住了半钩的弯月，干枯的老树落下最后一片叶子。“如何让你遇见 ，我在佛前已苦苦求了500年…·”不远处传来咏唱席慕容《一棵开花的树》的声音，“那声音是那样的轻快那样的有磁性而不失沉稳，那一定是位男生吧。”女孩想到；“阳光下慎重的开满了花　请你细听那颤抖的叶 是我等待的热情…”女孩不经意的接上一句，却被男孩发现了。男孩一下子愣住了，那不是，那时候遇见的女孩麽。女孩似乎猜透了他的心思，看见他的傻样，不禁的笑了一下。男孩马上醒了过来，‘你，你也喜欢舒婷的诗麽？”他张红着脸，问道。男孩的举动更令她觉得他很特别女孩的声音是那样的清越，如小河般清澈，悠扬。“看来你 …”男孩说道没等男孩说完 女孩接了个电话后 就离开了。“喂，你叫什么名字呢？”男孩壮着胆子大喊一句。“晨柯

第一集完

写稿人：容震宇

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望大家多多捧场（持续更新中）

平行线会相交吗，几何知识告诉我，它不会。但爱的平行线相交了，爱，迸发出了最动人的力量——亲人之间，生死相依；朋友之间，相互激励，陌生人也挽起手臂。今天那个巨大的爱的交点正蔓延在四川这块土地上，写下了无数可歌可泣的动人的故事。

2008年5月12日，一个黑色的日子！四川汶川地区一场突如其来的地震灾难降临，天摇地动打破了夏日的宁静，湛蓝的天空被污染，明媚的阳光被乌云遮挡。年前的那场雪灾酿成的伤痛逐渐被春风吹散，暖阳蒸融的今日，不过仅仅几个月的时间，汶川这场惊天动地的地震又一次排山倒海般地刺激摧毁着人脆弱的生命和神经。地震震垮了那里的家园、校园，夺去了几万人的生命……灾难的噩耗如晴天霹雳震撼着每一个人的心。四川成了举国上下关注的焦点。短暂的瞬间，却成了历史性的时刻。无数人在关注灾区，心系灾区。

手拿遥控器，坐在电视屏幕前，几乎所有的频道都在诉说着一个事实。透过电视画面，我看到了大片大片的瓦砾废墟，看到了号哭抽搐的人群，灾难已经发生，时光不再逆，一切再不能挽回。抗震救灾在总指挥张温家宝总书记的指挥下，有条不紊地展开。一个个鲜活的生命被一次次拯救出来，一个个灿烂的笑脸一次次绽放，微笑在哪一刻显得是那样弥足珍贵。

生命是脆弱的，但同时生命又是顽强的，记不清在经过几个小时的抢救之后，郎真终于在官兵战士的努力下救出。在与死神搏斗后获得新生的、躺在担架上的郎真，用感激的心撑起那只布满伤痕的手，向那些救助他的官兵战士们敬了一个很不正规军礼。这军礼是用爱与感激撑起来的，代表了平行线上的爱的结晶。

清清是汶川蓥华镇中学一名美丽好学的初一女孩，在这次汶川地震中，她被埋在了教学楼的废墟下，幸运的是她被救了出来，令人感动的是这个女孩被救出时，还在废墟里面打着手电筒看书。她说：“下面一片漆黑，我怕。我又冷又饿，只能靠看书缓解心中的害怕！”她的诚实如同她的坚强一样，让听者无不动容。

四川绵竹市遵道镇欢欢幼儿园的瞿万容老师“用后背牢牢地挡住了垮塌的水泥板，怀里还紧紧抱着一名小孩……

德阳市东汽中学遇难教师谭千秋“双臂张开着趴在课桌上，身下死死地护着四个学生，四个学生都活了……

在北川县城的一处废墟里，倒塌的墙壁实实地压在两个死去的大人身上，身下则是他们3岁的女儿宋欣宜。小欣宜得救了，断墙下整整40多个小时与死神的抗争，是父母用他们的全部生命，紧紧护卫着孩子的生命之弦……

风吹，雨淋，13号的都江堰城沉浸在一片悲痛中。离地震发生时间已过去20多小时，旅馆老板刘光强苦守在垮塌的楼房前，一次又一次呼唤被埋旅客的姓名，竟然找到了旅客，在相互的安慰声中他们等到了救援

当这些画面第一次在我面前展现的时候，泪水已经挂满了我的脸颊，因为四川地震的感人事迹太多了．我深深的被震撼了。 “生死不离，全世界都被沉寂，痛苦也不哭泣，爱是你的传奇，彩虹在风雨后升起，无论你在哪里，我都要找到你，血脉能创造奇迹，你一丝希望是我全部的动力……”也许这就是爱的力量，爱不需要任何语言，爱足以融化灾难带来的的痛苦，也足以试净满脸的泪痕。

地震无情人有情，一股股强烈的爱与感动涌入心间，平行线上的人们也把他们的爱聚在一起献给了灾区。从中央到地方；从领袖到人民；从八旬老人到怀中的孩童；从内地港、澳、台；从中国大陆到世界各地。红色的募捐箱、传递13亿人民爱与希望的绿丝带，最终聚起13亿人民的信念——坚强汶川！加油四川！团结中国！希望中华！俗话说：“患难见真情”。在那一刻，平行线上的爱相交了。汶川地震让我感受到了，即使距离遥远，即使平行，但只要心中有爱也能相聚。

平行线会相交吗，几何知识告诉我，它不会。但爱的平行线相交了，爱，迸发出了最动人的力量——亲人之间，生死相依；朋友之间，相互激励，陌生人也挽起手臂。今天那个巨大的爱的交点正蔓延在四川这块土地上，写下了无数可歌可泣的动人的故事。

2008年5月12日，一个黑色的日子！四川汶川地区一场突如其来的地震灾难降临，天摇地动打破了夏日的宁静，湛蓝的天空被污染，明媚的阳光被乌云遮挡。年前的那场雪灾酿成的伤痛逐渐被春风吹散，暖阳蒸融的今日，不过仅仅几个月的时间，汶川这场惊天动地的地震又一次排山倒海般地刺激摧毁着人脆弱的生命和神经。地震震垮了那里的家园、校园，夺去了几万人的生命……灾难的噩耗如晴天霹雳震撼着每一个人的心。四川成了举国上下关注的焦点。短暂的瞬间，却成了历史性的时刻。无数人在关注灾区，心系灾区。

手拿遥控器，坐在电视屏幕前，几乎所有的频道都在诉说着一个事实。透过电视画面，我看到了大片大片的瓦砾废墟，看到了号哭抽搐的人群，灾难已经发生，时光不再逆，一切再不能挽回。抗震救灾在总指挥张温家宝总书记的指挥下，有条不紊地展开。一个个鲜活的生命被一次次拯救出来，一个个灿烂的笑脸一次次绽放，微笑在哪一刻显得是那样弥足珍贵。

生命是脆弱的，但同时生命又是顽强的，记不清在经过几个小时的抢救之后，郎真终于在官兵战士的努力下救出。在与死神搏斗后获得新生的、躺在担架上的郎真，用感激的心撑起那只布满伤痕的手，向那些救助他的官兵战士们敬了一个很不正规军礼。这军礼是用爱与感激撑起来的，代表了平行线上的爱的结晶。

清清是汶川蓥华镇中学一名美丽好学的初一女孩，在这次汶川地震中，她被埋在了教学楼的废墟下，幸运的是她被救了出来，令人感动的是这个女孩被救出时，还在废墟里面打着手电筒看书。她说：“下面一片漆黑，我怕。我又冷又饿，只能靠看书缓解心中的害怕！”她的诚实如同她的坚强一样，让听者无不动容。

四川绵竹市遵道镇欢欢幼儿园的瞿万容老师“用后背牢牢地挡住了垮塌的水泥板，怀里还紧紧抱着一名小孩……

德阳市东汽中学遇难教师谭千秋“双臂张开着趴在课桌上，身下死死地护着四个学生，四个学生都活了……

在北川县城的一处废墟里，倒塌的墙壁实实地压在两个死去的大人身上，身下则是他们3岁的女儿宋欣宜。小欣宜得救了，断墙下整整40多个小时与死神的抗争，是父母用他们的全部生命，紧紧护卫着孩子的生命之弦……

风吹，雨淋，13号的都江堰城沉浸在一片悲痛中。离地震发生时间已过去20多小时，旅馆老板刘光强苦守在垮塌的楼房前，一次又一次呼唤被埋旅客的姓名，竟然找到了旅客，在相互的安慰声中他们等到了救援

当这些画面第一次在我面前展现的时候，泪水已经挂满了我的脸颊，因为四川地震的感人事迹太多了．我深深的被震撼了。 “生死不离，全世界都被沉寂，痛苦也不哭泣，爱是你的传奇，彩虹在风雨后升起，无论你在哪里，我都要找到你，血脉能创造奇迹，你一丝希望是我全部的动力……”也许这就是爱的力量，爱不需要任何语言，爱足以融化灾难带来的的痛苦，也足以试净满脸的泪痕。

地震无情人有情，一股股强烈的爱与感动涌入心间，平行线上的人们也把他们的爱聚在一起献给了灾区。从中央到地方；从领袖到人民；从八旬老人到怀中的孩童；从内地港、澳、台；从中国大陆到世界各地。红色的募捐箱、传递13亿人民爱与希望的绿丝带，最终聚起13亿人民的信念——坚强汶川！加油四川！团结中国！希望中华！俗话说：“患难见真情”。在那一刻，平行线上的爱相交了。汶川地震让我感受到了，即使距离遥远，即使平行，但只要心中有爱也能相聚。

人生。直线

每个人的经历都是一条直线，在世界这张白纸上，轻描淡写，留下了属于自己的痕迹。

——题记

我记得数学上有一个定理：在同一平面内，两条直线的情况只有两种——不是平行就是相交。

人生对于世界而言也是一条直线。既然如此又岂会违背这个定理呢？所以，当两个人的人生处于同一平面上时，两人的关系只会有两种：平行或相交。

而在我想来，两者之中，我喜欢前者。因为前者代表永恒。两条平行的直线，他们之间的距离永远就那么远。虽然不会靠近，但也不会拉开，之后会一直保持下去，一直到永远。所以当两种关系摆在我面前时，我会义无反顾的选择平行。因为我知道自己永远都不会失去对方。即使不能靠近，不能触摸到他的脸，但也不必为失去而担心。随时随地都可以看到对方的笑脸，相互结伴而行，进行着属于我们自己的旅行，不离不弃直到世界毁灭的那天……

只可惜完美总是极少的。就像你随手画的几百天直线中，又有几条是平行的呢。占多数的永远是相交。

对，就是相交。

两条直线，各自沿着自己的轨道向前跑，却不知道自己未来的命运。近了，近了，终于两条直线交融在那一点。一切似乎都是如此美好。他们想要停留，只可惜，力不从心，命运之神终究将其扯开了。但是他们不肯放弃，便留下了一个小小的夹角。可就是因为这个夹角，只是他们到后来终究越走越远。对望看不清对方的脸，只是觉得自己泪流满面，心已成碎片。

我厌倦相交的人生。因为我懂的那种力不从心的折磨，因为我了解那种怅然若失的感觉，因为我知道那种望眼欲穿的痛苦，因为我恐惧那种奔腾不息的思念。一切的一切，只因为我经历了一段相交式的人生，铭记了如入烟花破碎般的馀藦——辉煌前的担心与辉煌后的感动只不过是空虚一场。

现在的我，就像一条经历过相交的直线。以那个交点为起点，重新寻觅着它的眼神与笑容，虽然永远只能看见他的侧脸他的背影，但是人生有此足矣。

于是我过身来，继续我的命运。

于是我抬起头来，思念他的背影，

于是我忍着痛苦，期待属于我的平行线——我会一直等等到沧海桑田。

人生。直线

每个人的经历都是一条直线，在世界这张白纸上，轻描淡写，留下了属于自己的痕迹。

——题记

我记得数学上有一个定理：在同一平面内，两条直线的情况只有两种——不是平行就是相交。

人生对于世界而言也是一条直线。既然如此又岂会违背这个定理呢？所以，当两个人的人生处于同一平面上时，两人的关系只会有两种：平行或相交。

而在我想来，两者之中，我喜欢前者。因为前者代表永恒。两条平行的直线，他们之间的距离永远就那么远。虽然不会靠近，但也不会拉开，之后会一直保持下去，一直到永远。所以当两种关系摆在我面前时，我会义无反顾的选择平行。因为我知道自己永远都不会失去对方。即使不能靠近，不能触摸到他的脸，但也不必为失去而担心。随时随地都可以看到对方的笑脸，相互结伴而行，进行着属于我们自己的旅行，不离不弃直到世界毁灭的那天……

只可惜完美总是极少的。就像你随手画的几百天直线中，又有几条是平行的呢。占多数的永远是相交。

对，就是相交。

两条直线，各自沿着自己的轨道向前跑，却不知道自己未来的命运。近了，近了，终于两条直线交融在那一点。一切似乎都是如此美好。他们想要停留，只可惜，力不从心，命运之神终究将其扯开了。但是他们不肯放弃，便留下了一个小小的夹角。可就是因为这个夹角，只是他们到后来终究越走越远。对望看不清对方的脸，只是觉得自己泪流满面，心已成碎片。

我厌倦相交的人生。因为我懂的那种力不从心的折磨，因为我了解那种怅然若失的感觉，因为我知道那种望眼欲穿的痛苦，因为我恐惧那种奔腾不息的思念。一切的一切，只因为我经历了一段相交式的人生，铭记了如入烟花破碎般的馀藦——辉煌前的担心与辉煌后的感动只不过是空虚一场。

现在的我，就像一条经历过相交的直线。以那个交点为起点，重新寻觅着它的眼神与笑容，虽然永远只能看见他的侧脸他的背影，但是人生有此足矣。

于是我过身来，继续我的命运。

于是我抬起头来，思念他的背影，

于是我忍着痛苦，期待属于我的平行线——我会一直等等到沧海桑田。

平行线的判定?

一、素质教育目标

(一) 知识教学点

1．了解：推理、证明的格式．

2．理解：平行线判定公理的形成，第一个判定定理的证法．

3．掌握：平行线判定公理和第一个判定定理．

4．应用：会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证．

(二) 能力训练点

1．通过模型演示，即“运动——变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察——分析”和“归纳——总结”的能力．

2．通过判定公理的得出，培养学生善于从实践中总结规律，认识事物的能力．

3．通过判定定理的推导，培养学生的逻辑推理能力．

(三) 德育渗透点

通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系相互转化的辩证唯物主义思想．

? 二、教学重点、难点与疑点

? (一) 重点 在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导．

(二) 难点 判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式．

(三) 疑点 推理的书写格式．

? 三、教学方法 启发式引导发现法．

四、教具准备 ? 三角板、投影胶片、投影仪、计算机．

? 五、教学步骤

(一) 创设情境，复习引入

师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由(出示投影)

1．两条直线不相交，就叫平行线．

2．与一条直线平行的直线只有一条．

3．如果直线a 、b 都和c 平行，那么a 、b 就平行．

学生活动：学生口答上述三个问题

【教法说明】通过3个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题目的在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题的目的不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法．

师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？ 生：能判定垂直，根据垂直的定义．

师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？ 学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行．

教师在学生思考未得结论情况下，指出不能直接利用平行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？

学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有学生会提出，再作一条直线c ，让c ∥a ，再看c 是否平行于b 就可以了．

师：这种想法很好，那么，如何作c ，使它与a 平行？若作出c 后，又如何判断c 是否与b

平行？

学生活动：学生思考老师的追问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题．

师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判断方法，就是今天我们要学习的平行线的判定，(板书课题)

[板书]? 2．5平行线的判定? (1)．

【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断，这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单的追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容．

(二) 探索新知，讲授新课

教师给出像课本第71页图2-20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动b ，让学生观察，b 转动到不同位置时，∠α的大小有无变化，再让∠α从小变大，说出直线b 与a 的位置关系变化规律．

【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论．

学生活动：b 转动到不同位置时，∠α也随着变化，当∠α从小变大时，直线b 从原来在右边与直线a 相交，变到在左边与a 相交．

师：在这个过程中，存在一个与a 不相交即与a 平行的位置，那么∠α多大时，直线a ∥b 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系．

师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线a 外一点P 画a 的平行线b ．

学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示．(见图2-34)

师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？

生：保证了两个同位角相等．

师：由此你能得到什么猜想？

生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行．

师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？ 教师用计算机演示运动变化过程．在观察实验之前，让学生认清α角和β角(如图2-35) ，而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论．

学生活动：学生观察讨论，分析．

总结出，当β≠α时，a 不平行b ，而无论α取何值，只要β=α，a 、b 就平行． 教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理．

[板书]? 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简单说成：同位角相等，两直线平行．

即：∵∠1＝∠2(已知见图2-36) ，

∴a ∥b(同位角相等，两直线平行) ．

【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动——变化过程，让学生确信公理的正确．尝试反馈，巩固练习(出示投影)

1．如图2-37，∠1＝150°，∠2＝150°，a ∥b 吗？

2．∠c=31°，当∠ABE ＝______时，就能使BE ∥CD ？

【教法说明】这两个题目意在巩固所学判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思

考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想．

(出示投影)

直线a 、b 被直线c 所截．

1．见图2-38，如果∠1＝∠2，么a 与b 有什么关系？

2．∠1与∠3有什么关系？

3．∠2与∠3是什么位置关系的一对角？

学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：∠1＝∠2时，a ∥b ，∠1与∠3相等，∠2与∠3是内错角．

师：∠3与∠2满足什么条件，可以得到∠1＝∠2？为什么？

生：∠3=∠2，因为∠3＝∠1，通过等量代换可以得到∠1=∠2．

师：∠1=∠2时，你进而可以得到什么结论？

生：a ∥b ．

师：由此你能总结出什么正确结论？

生：内错角相等，两直线平行．

师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：

[板书]? 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．

【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考，善于动脑、分析的良好学习习惯．

师：上面的推理过程，可以写成

∵∠3=∠2(已知) ，

∠1=∠3(对顶角相等) ，

∴∠1＝∠2．

∵∠1=∠2(已证)]，

∴a ∥b(同位角相等，两直线平行) ．

【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取精神．

教师指出：方括号内的∵∠1＝∠2，就是上面刚刚得到的“∴∠1=∠2”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略．

尝试反馈，巩固练习(出示投影)

1．如图2-39，直线AB 、CD 被直线EF 所截．

(1)量得∠1＝80°，∠2=80°，就可以判定AB ∥CD ，它的根据是什么？

(2)量得∠3＝100°，∠4＝100°，就可以判定AB ∥CD ，它的根据是什么？

2．如图2-40，BE 是AB 的延长线，量得∠CBE ＝∠A ＝∠C ．

(1)从∠CBE=∠A ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

(2)从∠CBE ＝∠C ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

学生活动：学生口答．

【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题．

(三) 变式训练，培养能力

(出示投影)

1．如图2-41所示，由∠DCE=∠D ，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？

2．如图2-42，已知∠1＝45°，∠2=135°，L1∥L2吗？为什么？

学生活动：学生思考后回答问题．教师给以指正并启发、引导得出各种答案．

【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度，全方位考虑问题，从而得到一题多解．提高了学生的解题能力．

(四) 归纳总结

2．结合判定定理的证明过程熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式． ? 六、布置作业 课本习题

? 七、板书设计

平行线的判定?

一、素质教育目标

(一) 知识教学点

1．了解：推理、证明的格式．

2．理解：平行线判定公理的形成，第一个判定定理的证法．

3．掌握：平行线判定公理和第一个判定定理．

4．应用：会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证．

(二) 能力训练点

1．通过模型演示，即“运动——变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察——分析”和“归纳——总结”的能力．

2．通过判定公理的得出，培养学生善于从实践中总结规律，认识事物的能力．

3．通过判定定理的推导，培养学生的逻辑推理能力．

(三) 德育渗透点

通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系相互转化的辩证唯物主义思想．

? 二、教学重点、难点与疑点

? (一) 重点 在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导．

(二) 难点 判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式．

(三) 疑点 推理的书写格式．

? 三、教学方法 启发式引导发现法．

四、教具准备 ? 三角板、投影胶片、投影仪、计算机．

? 五、教学步骤

(一) 创设情境，复习引入

师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由(出示投影)

1．两条直线不相交，就叫平行线．

2．与一条直线平行的直线只有一条．

3．如果直线a 、b 都和c 平行，那么a 、b 就平行．

学生活动：学生口答上述三个问题

【教法说明】通过3个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题目的在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题的目的不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法．

师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？ 生：能判定垂直，根据垂直的定义．

师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？ 学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行．

教师在学生思考未得结论情况下，指出不能直接利用平行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？

学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有学生会提出，再作一条直线c ，让c ∥a ，再看c 是否平行于b 就可以了．

师：这种想法很好，那么，如何作c ，使它与a 平行？若作出c 后，又如何判断c 是否与b

平行？

学生活动：学生思考老师的追问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题．

师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判断方法，就是今天我们要学习的平行线的判定，(板书课题)

[板书]? 2．5平行线的判定? (1)．

【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断，这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单的追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容．

(二) 探索新知，讲授新课

教师给出像课本第71页图2-20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动b ，让学生观察，b 转动到不同位置时，∠α的大小有无变化，再让∠α从小变大，说出直线b 与a 的位置关系变化规律．

【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论．

学生活动：b 转动到不同位置时，∠α也随着变化，当∠α从小变大时，直线b 从原来在右边与直线a 相交，变到在左边与a 相交．

师：在这个过程中，存在一个与a 不相交即与a 平行的位置，那么∠α多大时，直线a ∥b 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系．

师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线a 外一点P 画a 的平行线b ．

学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示．(见图2-34)

师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？

生：保证了两个同位角相等．

师：由此你能得到什么猜想？

生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行．

师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？ 教师用计算机演示运动变化过程．在观察实验之前，让学生认清α角和β角(如图2-35) ，而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论．

学生活动：学生观察讨论，分析．

总结出，当β≠α时，a 不平行b ，而无论α取何值，只要β=α，a 、b 就平行． 教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理．

[板书]? 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简单说成：同位角相等，两直线平行．

即：∵∠1＝∠2(已知见图2-36) ，

∴a ∥b(同位角相等，两直线平行) ．

【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动——变化过程，让学生确信公理的正确．尝试反馈，巩固练习(出示投影)

1．如图2-37，∠1＝150°，∠2＝150°，a ∥b 吗？

2．∠c=31°，当∠ABE ＝______时，就能使BE ∥CD ？

【教法说明】这两个题目意在巩固所学判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思

考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想．

(出示投影)

直线a 、b 被直线c 所截．

1．见图2-38，如果∠1＝∠2，么a 与b 有什么关系？

2．∠1与∠3有什么关系？

3．∠2与∠3是什么位置关系的一对角？

学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：∠1＝∠2时，a ∥b ，∠1与∠3相等，∠2与∠3是内错角．

师：∠3与∠2满足什么条件，可以得到∠1＝∠2？为什么？

生：∠3=∠2，因为∠3＝∠1，通过等量代换可以得到∠1=∠2．

师：∠1=∠2时，你进而可以得到什么结论？

生：a ∥b ．

师：由此你能总结出什么正确结论？

生：内错角相等，两直线平行．

师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：

[板书]? 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．

【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考，善于动脑、分析的良好学习习惯．

师：上面的推理过程，可以写成

∵∠3=∠2(已知) ，

∠1=∠3(对顶角相等) ，

∴∠1＝∠2．

∵∠1=∠2(已证)]，

∴a ∥b(同位角相等，两直线平行) ．

【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取精神．

教师指出：方括号内的∵∠1＝∠2，就是上面刚刚得到的“∴∠1=∠2”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略．

尝试反馈，巩固练习(出示投影)

1．如图2-39，直线AB 、CD 被直线EF 所截．

(1)量得∠1＝80°，∠2=80°，就可以判定AB ∥CD ，它的根据是什么？

(2)量得∠3＝100°，∠4＝100°，就可以判定AB ∥CD ，它的根据是什么？

2．如图2-40，BE 是AB 的延长线，量得∠CBE ＝∠A ＝∠C ．

(1)从∠CBE=∠A ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

(2)从∠CBE ＝∠C ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

学生活动：学生口答．

【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题．

(三) 变式训练，培养能力

(出示投影)

1．如图2-41所示，由∠DCE=∠D ，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？

2．如图2-42，已知∠1＝45°，∠2=135°，L1∥L2吗？为什么？

学生活动：学生思考后回答问题．教师给以指正并启发、引导得出各种答案．

【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度，全方位考虑问题，从而得到一题多解．提高了学生的解题能力．

(四) 归纳总结

2．结合判定定理的证明过程熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式． ? 六、布置作业 课本习题

? 七、板书设计

两条不相交的线，并不一定是平行，也许他们曾经相交过，痕迹早被岁月冲淡；又或者他们将来会相交，只是不是现在。

——题记

两条不相交的线，两个不相交的人，就像我和陆。我们并不像平行线般从未相交或从不相交，只是我们原本相交的点，被岁月挖空，再无相交的痕迹。

从不相交到相交

两条不平行的直线向两边无限延长，总有一端会交于一个点，但是，如果是线段呢？还好，我不是线段，他也不是。我们都是直线，不平行的的直线。一直延伸着自己的领域，在某个地方相交。

什么时候认识他的？不怎么记得时间了，大概是在燕在4班的时候吧。自己似乎和他结下了梁子，这已不足为奇了，便不大在意结下梁子的原由，（其实是忘了）反正是结下了。本着记性问题，那位姓陆的大哥早已淡出我的世界，我不知道世界上是否存在这么一个人。上帝也许很爱开玩笑吧，把我和他分在一个班，自然他有闯入了我的领域。正所谓仇人见面分外眼红，没办法了，依我的性格，这梁子准是越大。

我不是好人，我也明白这点。从没想过呀改，自己太懒了么？不，那只是自己逃避问题的借口看，其实自己都明白。是自己太自私？还是自己太任性？管他呢，只要自己没受伤就好！可是自己不可能不受伤。他其实挺好一人，脾气不大，最大的优点就是忍。我捉弄他好几次，他愣是没报复我。我呢，是变本加厉了，这下他有苦头吃了。接下来，又多了几次交集，我没占啥好处。就黑板报那事儿，他不在的话，啥事都好商量！这下倒好，落个集体荣誉感不强，自己栽了跟头，郁闷了好久。

相交后的不相交

两条直线依旧无限延伸，是交于一点了。然后又叉开来，再没有相交。除非他们个头，可是他们是直线，不能弯折。他们也可以缩回那个交点处不再延伸。可是那怎么可能呢？我们都那么骄傲，不肯回头。于是，一直延伸着。又或者，那两条直线回到了原位，不再延伸，也就不再相交，距离还是和以前那般——不近不远。而我和陆是不可能回到原处了，因为时间不能倒流。我们会沿着那个曾经相交的地方交叉一直走下去，越来越远。

要分班了，几次求上帝保佑自己不要再与他同班。上帝一定是聋了！自己长大了，发现有仇人好累，便决定不再和他有任何交集现在才发现自己还是有些天真——在同一个班，怎么可能没有交集呢？那节体育课，正与周公约会的我突然被不知名物体砸到了，我最讨厌被人打扰我和周公约会了，所以来捡那不知名物体的人死定了。很“幸运”的，是那位姓陆的大哥。后来在课堂内外才发现：哦，别人也是会变的，他嚣张了些。更不想与他有任何交集了，反正是陌生人了。

一直不相交

那两条直线，无论是一直延伸下去；还是回到了原位不动；又或者其中一条回到了（或延伸到了）相交处，另一条却还是一直延伸；反正是不再相交了。我和陆，大概也是如此吧。

我们仇视了那么久，应该都累了吧。从前总想长大，我们真的就在那么短短的几年之间，风驰电掣的长大了，离那些蝉声袅袅的夏天越来越远，站在几年光阴的尽头回望过去，绿扬荫里的小木马，依稀还在朝我们憨憨地摇尾巴，赶快爬到它的身上，让它把我们带到再也回不去的那个暑假吧。那时，我决不与你相识，相识也决不结下梁子。可那怎么可能呢？我的性格怎么可能呢？岁月依旧向前走，它将我们淡忘，被定格在差一点相交和相距越来越远的地方！

（后记：自己更沉默寡言了么？没有吧，只是和从前一般的有些不适应新环境（就是有些害怕）。喂，后面的，想侵犯我的领域么？哼，要你们知道我的厉害，我可不是好惹的！我和你们的梁子结定了。为什么）哼，谁叫你们自恋来着？想想，似乎和陆的梁子也是一时兴起呢！看来，要与我不相交的线又多了呢！）

两条不相交的线，并不一定是平行，也许他们曾经相交过，痕迹早被岁月冲淡；又或者他们将来会相交，只是不是现在。

——题记

两条不相交的线，两个不相交的人，就像我和陆。我们并不像平行线般从未相交或从不相交，只是我们原本相交的点，被岁月挖空，再无相交的痕迹。

从不相交到相交

两条不平行的直线向两边无限延长，总有一端会交于一个点，但是，如果是线段呢？还好，我不是线段，他也不是。我们都是直线，不平行的的直线。一直延伸着自己的领域，在某个地方相交。

什么时候认识他的？不怎么记得时间了，大概是在燕在4班的时候吧。自己似乎和他结下了梁子，这已不足为奇了，便不大在意结下梁子的原由，（其实是忘了）反正是结下了。本着记性问题，那位姓陆的大哥早已淡出我的世界，我不知道世界上是否存在这么一个人。上帝也许很爱开玩笑吧，把我和他分在一个班，自然他有闯入了我的领域。正所谓仇人见面分外眼红，没办法了，依我的性格，这梁子准是越大。

我不是好人，我也明白这点。从没想过呀改，自己太懒了么？不，那只是自己逃避问题的借口看，其实自己都明白。是自己太自私？还是自己太任性？管他呢，只要自己没受伤就好！可是自己不可能不受伤。他其实挺好一人，脾气不大，最大的优点就是忍。我捉弄他好几次，他愣是没报复我。我呢，是变本加厉了，这下他有苦头吃了。接下来，又多了几次交集，我没占啥好处。就黑板报那事儿，他不在的话，啥事都好商量！这下倒好，落个集体荣誉感不强，自己栽了跟头，郁闷了好久。

相交后的不相交

两条直线依旧无限延伸，是交于一点了。然后又叉开来，再没有相交。除非他们个头，可是他们是直线，不能弯折。他们也可以缩回那个交点处不再延伸。可是那怎么可能呢？我们都那么骄傲，不肯回头。于是，一直延伸着。又或者，那两条直线回到了原位，不再延伸，也就不再相交，距离还是和以前那般——不近不远。而我和陆是不可能回到原处了，因为时间不能倒流。我们会沿着那个曾经相交的地方交叉一直走下去，越来越远。

要分班了，几次求上帝保佑自己不要再与他同班。上帝一定是聋了！自己长大了，发现有仇人好累，便决定不再和他有任何交集现在才发现自己还是有些天真——在同一个班，怎么可能没有交集呢？那节体育课，正与周公约会的我突然被不知名物体砸到了，我最讨厌被人打扰我和周公约会了，所以来捡那不知名物体的人死定了。很“幸运”的，是那位姓陆的大哥。后来在课堂内外才发现：哦，别人也是会变的，他嚣张了些。更不想与他有任何交集了，反正是陌生人了。

一直不相交

那两条直线，无论是一直延伸下去；还是回到了原位不动；又或者其中一条回到了（或延伸到了）相交处，另一条却还是一直延伸；反正是不再相交了。我和陆，大概也是如此吧。

我们仇视了那么久，应该都累了吧。从前总想长大，我们真的就在那么短短的几年之间，风驰电掣的长大了，离那些蝉声袅袅的夏天越来越远，站在几年光阴的尽头回望过去，绿扬荫里的小木马，依稀还在朝我们憨憨地摇尾巴，赶快爬到它的身上，让它把我们带到再也回不去的那个暑假吧。那时，我决不与你相识，相识也决不结下梁子。可那怎么可能呢？我的性格怎么可能呢？岁月依旧向前走，它将我们淡忘，被定格在差一点相交和相距越来越远的地方！

（后记：自己更沉默寡言了么？没有吧，只是和从前一般的有些不适应新环境（就是有些害怕）。喂，后面的，想侵犯我的领域么？哼，要你们知道我的厉害，我可不是好惹的！我和你们的梁子结定了。为什么）哼，谁叫你们自恋来着？想想，似乎和陆的梁子也是一时兴起呢！看来，要与我不相交的线又多了呢！）

我曾问过我的一些朋友，“你希望和朋友是两条直线还是平行线？”大多数人都回答是“直线”。我当时很失望，只有SUN微笑的看着我回答：“平行线”。我当时掩饰住心里的激动说“谁都知道直线有交点，平行线永不相交啊仍然挂着她那招牌式的微笑，说出了的心里话：“难道你不知道直线有交点,但无限的靠近相交在一个点上后，将又是无限的远离。而

平行线，虽然永不相交，但彼此的距离永远不变。“

”平行线正印证了这句话“没有结局的结局，才是最好的结局。”我希望不论和

朋友相隔多远，心都在一起，永远不要有结局。

我曾问过我的一些朋友，“你希望和朋友是两条直线还是平行线？”大多数人都回答是“直线”。我当时很失望，只有SUN微笑的看着我回答：“平行线”。我当时掩饰住心里的激动说“谁都知道直线有交点，平行线永不相交啊仍然挂着她那招牌式的微笑，说出了的心里话：“难道你不知道直线有交点,但无限的靠近相交在一个点上后，将又是无限的远离。而

平行线，虽然永不相交，但彼此的距离永远不变。“

”平行线正印证了这句话“没有结局的结局，才是最好的结局。”我希望不论和

朋友相隔多远，心都在一起，永远不要有结局。

四年级数学获奖小论文

数学的奥秘

今天，我们上数学课时，老师教我们学用计算器计算这一课。大家都乐翻了天，因为这不用自己计算。

在学习这课前，老师让大家做了一个小小的游戏，游戏的规则是在计算器上按自己最喜欢的数字，按9次，然后再除以1、3、5、7、8、9，我按了9个2，所以 结果 得18。我把结果告诉了曹老师，谁知，曹老师竟一口说出我按的是2。我觉得老师就是老师，非常聪明。于是我就想：老师怎么知道我按的是2呢？于是就随便用了18除以9，结果还真是得2。然后我又用5、6、7、8试了一下，果然只要用所得的结果除以9，就是一开始所按的数字。于是我便告诉了曹老师，曹老师说我猜对了。我想：没想到学数学竟然有这么多奥秘。 就游戏规则看，按了9个2后显示的是222222222，它除以1、3、5、7、8、9绝对不可能得到18。至于学生后面用5、6、7、8是怎么试的，也没看明白。既然我还看不明白，我想让小孩子看明白就有点问题了。

二是标题的提炼还不够。题好一半文，好的题目能诱发读者的阅读欲望。但有好多征文在选题上推敲明显不够。象上面例子的标题“数学的奥秘”，就显得太空了。又如“正确理解平行线的意义”一看就有点做讲座的味道；还有诸如“开心的一天”“算出正确答案”“数学日记”等等，缺乏新意，没能很好地起到点睛作用。

三是没有能够反映一个很好的主题。数学小论文与作文有区别，但也要反映一个主题。比如说，表达自己自己成功解题的喜悦；表达数学给生活带来的乐趣；表达数学与我们生活的密切联系。要透过缜密的逻辑思考让人分享到你的快乐与愉悦。下面这位孩子的小论文，就似乎在这方面欠缺点什么。

让我们迷惑的题目

练习册上有这样一道题：爷爷今年84岁，是妈妈的3倍，妈妈的年龄是小华的2倍。小华今年几岁？

我们算出的结果是小华今年14岁。咦，28岁的妈妈怎么会有14岁的孩子

呢？这下同学们可议论纷纷了。有的说：“可能他妈妈是早产！”“哈哈，怎么可能，妈妈那么小就生了小孩吗？ ”“如果是古时候就可能了。”“小华是被他妈妈捡到的吧……”

我想，可能是小华的爸爸和妈妈离婚了，小华跟了爸爸，爸爸又娶了一个年轻的妈妈，所以14岁小华的妈妈才会28岁。

唉，真搞不懂他们家究竟出了什么事情，才使28岁的妈妈有了14岁的孩子呢？

老师说这一题出得不严谨，所以数学中的题目不是那么随便可以出的，一定要符合生活实际，这样的数学才有实际的用处。

四是在某些语句的表述上还欠科学，或者介绍的方法不具有普遍意义。看这样一则论文：

真 假 金 币

［ 题目 ］ 有１５枚金币，其中有一枚是假币 。这枚假币外表跟真币一样，只是比真币略轻些，现在给你一个天平，不用砝码，并最多称三次，你能将假币找出来吗？

这道题我是这样想的：既然假币比真币轻，我从中取出一枚假定它为假币，剩下的平均分置天平两端应相等．如不等，则假设不对，假币在略轻的一边 。

第一步，各取７枚金币置于天平两端，若相等，则剩下为假币，若不等，则假币在略轻的一端 。

第二步，把略轻的一组７枚金币再各取３枚金币置于天平两端，若相等，则剩下为假币，若不等，则假币在略轻的一端 。

第三步，把略轻的一组３枚金币再各取１枚金币置于天平两端，若相等，则剩下为假币，若不等，不用我说，大家都知道那枚是真那枚是假啦！

由此可见，用排除法解这道题不仅符合要求，而且省时省力．同学们也可以开动脑筋 ， 想想有没有其它的方法呢？

我在看这篇论文的时候，写了如下简评：这种策略其实并不具有推广价值，真正有价值的分类，应该是把总数平均分成3份，取其中两份称。比如说，有45枚硬币，平均分成3份，每份15枚。取其中两份称，如果天平平衡，则假币在剩下一堆里，如果天平不平衡，则在轻的一边；接着把有假币这堆的15

枚硬币平均分成3份，每份5枚，同样取两份称，天平平衡，假币自然在剩下一堆里，天平不能平衡，假币不能平衡，自然在轻的一边；再把有假币的5枚分成3份，不能平均分，只能两堆取2，一堆取1。用两堆2的放在天平两边称，天平平衡，剩下的一枚就是假币，天平不能平衡，则还要把轻的一边的两枚再称一次。因此，这种情况下，最多称四次肯定能够找出假币。如果起初硬币总数不是3的倍数，比如说40枚，我们可以取两堆13枚，一堆14枚（40 ÷ 3=13 …… 1）（ 把多出的一枚加在其中一堆上，同样地，如果余数为2，则把2枚分摊在两堆上）。

再如下面这则小论文：

生活中的数学

今天，我做完了数学作业，便拿给了爸爸看。爸爸看了，皱起了眉头，说：“你再联系生活把最后一道题看看！”那一道题是这样的：一根长20公分的木头要锯成5分米长的木棍，每锯一次要4分钟，锯完一次休息3分钟，那全部锯完要多少分钟？我是这样做的：20÷5＝4(段),4－1＝3(次),4×3＝12(分钟),3×3＝9(分钟),12＋9＝21(分钟) 。我仔细地看呀看呀，还是没看出什么毛病，只好硬着头皮问爸爸。爸爸笑着说：“傻孩子，每锯完一次，要休息3分钟，这根木头共要锯三次，三次中间只有两个间隔，也就是说，锯三次只要休息两次，是不是呀？”我恍然大悟：中间休息时间不是3×3＝9(分钟) ，而是2×3＝6(分钟) ，这样，锯完这根木头总共要花12＋6＝18（分钟）。

从今天这个事，我明白了一个道理：原来生活里就蕴藏着有趣的数学呀！ 很显然，文中“三次中间只有两个间隔”不准确。正确的表达应该是，第三次锯后，这根木头就被锯成“5分米长”的一些小段了，这时，就不需要考虑“锯完一次休息3分钟”了。

五是缺少了应有的童真、童趣。大家看这样一篇论文：

正确理解平行线的意义

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。要正确理解平行线的意义，需要注意以下两点：

1 . 平行线必须具备两个条件：①“在同一平面内”；②“不相交”的两条直线。两者缺一不可。

“在同一平面内”是确定平行线的重要前提，因为不在同一平面内的两条

直线，虽然不相交，但不一定是平行线。如右图火柴盒中a 与b ，虽然延长后永不相交，但由于a 与b 不在同一平面内， 所以他们不是平行线。另外，有些直线在同一平面内，表面上看是不相交的（图 略 ），但把它们延长后却是相交的，这样的两条直线也不是平行线。

同学们，请你拿出一个火柴盒数一数，火柴盒上一共有多少对平行线（每对是两条平行直线）。

2 . 平行线是指在同一平面内两条直线的相互位置关系。如上图火柴盒中的a 与c 是两条平行线，就应说直线a 平行于直线c ，或说直线c 平行于直线a ，而不能单独地说直线a 是平行线，直线c 是平行线。

以上几点，从一个侧面也折射出我们的教师在指导上还显得不足。这是我们每一位教师在今后都需要注意的。

四年级数学获奖小论文

数学的奥秘

今天，我们上数学课时，老师教我们学用计算器计算这一课。大家都乐翻了天，因为这不用自己计算。

在学习这课前，老师让大家做了一个小小的游戏，游戏的规则是在计算器上按自己最喜欢的数字，按9次，然后再除以1、3、5、7、8、9，我按了9个2，所以 结果 得18。我把结果告诉了曹老师，谁知，曹老师竟一口说出我按的是2。我觉得老师就是老师，非常聪明。于是我就想：老师怎么知道我按的是2呢？于是就随便用了18除以9，结果还真是得2。然后我又用5、6、7、8试了一下，果然只要用所得的结果除以9，就是一开始所按的数字。于是我便告诉了曹老师，曹老师说我猜对了。我想：没想到学数学竟然有这么多奥秘。 就游戏规则看，按了9个2后显示的是222222222，它除以1、3、5、7、8、9绝对不可能得到18。至于学生后面用5、6、7、8是怎么试的，也没看明白。既然我还看不明白，我想让小孩子看明白就有点问题了。

二是标题的提炼还不够。题好一半文，好的题目能诱发读者的阅读欲望。但有好多征文在选题上推敲明显不够。象上面例子的标题“数学的奥秘”，就显得太空了。又如“正确理解平行线的意义”一看就有点做讲座的味道；还有诸如“开心的一天”“算出正确答案”“数学日记”等等，缺乏新意，没能很好地起到点睛作用。

三是没有能够反映一个很好的主题。数学小论文与作文有区别，但也要反映一个主题。比如说，表达自己自己成功解题的喜悦；表达数学给生活带来的乐趣；表达数学与我们生活的密切联系。要透过缜密的逻辑思考让人分享到你的快乐与愉悦。下面这位孩子的小论文，就似乎在这方面欠缺点什么。

让我们迷惑的题目

练习册上有这样一道题：爷爷今年84岁，是妈妈的3倍，妈妈的年龄是小华的2倍。小华今年几岁？

我们算出的结果是小华今年14岁。咦，28岁的妈妈怎么会有14岁的孩子

呢？这下同学们可议论纷纷了。有的说：“可能他妈妈是早产！”“哈哈，怎么可能，妈妈那么小就生了小孩吗？ ”“如果是古时候就可能了。”“小华是被他妈妈捡到的吧……”

我想，可能是小华的爸爸和妈妈离婚了，小华跟了爸爸，爸爸又娶了一个年轻的妈妈，所以14岁小华的妈妈才会28岁。

唉，真搞不懂他们家究竟出了什么事情，才使28岁的妈妈有了14岁的孩子呢？

老师说这一题出得不严谨，所以数学中的题目不是那么随便可以出的，一定要符合生活实际，这样的数学才有实际的用处。

四是在某些语句的表述上还欠科学，或者介绍的方法不具有普遍意义。看这样一则论文：

真 假 金 币

［ 题目 ］ 有１５枚金币，其中有一枚是假币 。这枚假币外表跟真币一样，只是比真币略轻些，现在给你一个天平，不用砝码，并最多称三次，你能将假币找出来吗？

这道题我是这样想的：既然假币比真币轻，我从中取出一枚假定它为假币，剩下的平均分置天平两端应相等．如不等，则假设不对，假币在略轻的一边 。

第一步，各取７枚金币置于天平两端，若相等，则剩下为假币，若不等，则假币在略轻的一端 。

第二步，把略轻的一组７枚金币再各取３枚金币置于天平两端，若相等，则剩下为假币，若不等，则假币在略轻的一端 。

第三步，把略轻的一组３枚金币再各取１枚金币置于天平两端，若相等，则剩下为假币，若不等，不用我说，大家都知道那枚是真那枚是假啦！

由此可见，用排除法解这道题不仅符合要求，而且省时省力．同学们也可以开动脑筋 ， 想想有没有其它的方法呢？

我在看这篇论文的时候，写了如下简评：这种策略其实并不具有推广价值，真正有价值的分类，应该是把总数平均分成3份，取其中两份称。比如说，有45枚硬币，平均分成3份，每份15枚。取其中两份称，如果天平平衡，则假币在剩下一堆里，如果天平不平衡，则在轻的一边；接着把有假币这堆的15

枚硬币平均分成3份，每份5枚，同样取两份称，天平平衡，假币自然在剩下一堆里，天平不能平衡，假币不能平衡，自然在轻的一边；再把有假币的5枚分成3份，不能平均分，只能两堆取2，一堆取1。用两堆2的放在天平两边称，天平平衡，剩下的一枚就是假币，天平不能平衡，则还要把轻的一边的两枚再称一次。因此，这种情况下，最多称四次肯定能够找出假币。如果起初硬币总数不是3的倍数，比如说40枚，我们可以取两堆13枚，一堆14枚（40 ÷ 3=13 …… 1）（ 把多出的一枚加在其中一堆上，同样地，如果余数为2，则把2枚分摊在两堆上）。

再如下面这则小论文：

生活中的数学

今天，我做完了数学作业，便拿给了爸爸看。爸爸看了，皱起了眉头，说：“你再联系生活把最后一道题看看！”那一道题是这样的：一根长20公分的木头要锯成5分米长的木棍，每锯一次要4分钟，锯完一次休息3分钟，那全部锯完要多少分钟？我是这样做的：20÷5＝4(段),4－1＝3(次),4×3＝12(分钟),3×3＝9(分钟),12＋9＝21(分钟) 。我仔细地看呀看呀，还是没看出什么毛病，只好硬着头皮问爸爸。爸爸笑着说：“傻孩子，每锯完一次，要休息3分钟，这根木头共要锯三次，三次中间只有两个间隔，也就是说，锯三次只要休息两次，是不是呀？”我恍然大悟：中间休息时间不是3×3＝9(分钟) ，而是2×3＝6(分钟) ，这样，锯完这根木头总共要花12＋6＝18（分钟）。

从今天这个事，我明白了一个道理：原来生活里就蕴藏着有趣的数学呀！ 很显然，文中“三次中间只有两个间隔”不准确。正确的表达应该是，第三次锯后，这根木头就被锯成“5分米长”的一些小段了，这时，就不需要考虑“锯完一次休息3分钟”了。

五是缺少了应有的童真、童趣。大家看这样一篇论文：

正确理解平行线的意义

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。要正确理解平行线的意义，需要注意以下两点：

1 . 平行线必须具备两个条件：①“在同一平面内”；②“不相交”的两条直线。两者缺一不可。

“在同一平面内”是确定平行线的重要前提，因为不在同一平面内的两条

直线，虽然不相交，但不一定是平行线。如右图火柴盒中a 与b ，虽然延长后永不相交，但由于a 与b 不在同一平面内， 所以他们不是平行线。另外，有些直线在同一平面内，表面上看是不相交的（图 略 ），但把它们延长后却是相交的，这样的两条直线也不是平行线。

同学们，请你拿出一个火柴盒数一数，火柴盒上一共有多少对平行线（每对是两条平行直线）。

2 . 平行线是指在同一平面内两条直线的相互位置关系。如上图火柴盒中的a 与c 是两条平行线，就应说直线a 平行于直线c ，或说直线c 平行于直线a ，而不能单独地说直线a 是平行线，直线c 是平行线。

以上几点，从一个侧面也折射出我们的教师在指导上还显得不足。这是我们每一位教师在今后都需要注意的。

天黑黑的，黑得伸手不见五指，一阵风往我的脖子里面吹，冷冷的。我拖着沉重的身子，怀里的那沉重的书快要把我压死，我无力而又奋力地往前走。我的思绪早已抛到九霄云外，上下眼皮正在激战中。忽然眼前一亮，家门出现了！我抖擞了精神，加快脚步。终于回到家了，我的骨头架快要散了。爸爸妈妈笑盈盈地迎了出来，嘘寒问暖。妈妈关切地说：“女儿，赶快去洗个澡，暖和暖和。”我笑着点了点头，把书包扔到一边。

我打开房间门一看，哇！好干净啊！地板书桌都一尘不染。突然，床边的一个柜子杂乱无章，大煞风景。嘿？奇怪了？难道有小偷光顾了？怎么会呢！我这里又没有钱。我七上八下地走过去，打开抽屉一看……我的信！我的信被头看了。尽管我看到的信是整整齐齐，折得方方正正，但是我跟我朋友每次通信，所采用的都是不同的折纸手法，所以，我百分之一千敢肯定有人偷看我的信。一阵怒火直冲头顶，凶巴巴地朝弟弟的房间走去。我把弟弟从被窝里挖出来，狠狠地抽着他的衣领：“你这个小家伙，谁允许你进我的房间？还翻我的东西，找死啊！”弟弟神色慌张，跪地求饶：“姐姐，不关我事啊！以前的我都认了，自从上次你教训了我，我都不敢啦！真的不是我！”看到他那可怜又委屈的样子，我想我冤枉他了。那是谁呢？我生气地跑到大厅问妈妈：“今天谁进我房间了？”“哦，是我啊，我去清洁。”那一刹那，我好象明白了。我尽力掩饰自己内心的愤怒，她毕竟是我妈妈，我必须尊重她。

从那以后，我就把那些信装在一个箱子里，把它严密地藏起来。我懂得尊重他们，但他们是否也懂得尊重我呢？

有一次，在吃午饭的时候，弟弟着急地跑过来：“姐姐，你死定啦，爸爸刚刚查你的手机，看你的信息，看到那些男的给你发的肉麻信息。”我听完慌张地跑到大厅里，把手机打开一看，所有信息都删掉了，尽管我不知道什么事，但是我还是很沮丧。我看了看爸爸，他正在若无其事地看报纸。我看了看手机，把手机锁上了密码。他毕竟是我爸爸，我必须尊重他。 我不知道，我这样不作声是否正确，我只知道我必须尊重他们。但是我这样的做法却纵容了他们行为。

记得暑假里的一天，正与朋友谈得愉快，突然听到话筒里传来姐姐和弟弟打骂的声音，我问他：“你的兄弟姐妹在旁边吗？”他说没有，家里只有他一个。我惊讶地放下话筒，静悄悄地走到大厅门口，偷偷地把头往外探……最不想看到的镜头---妈妈正那着听筒鬼鬼祟祟地想四周探视着，耳朵紧紧地贴着听筒，害怕漏听一个字。我咬着嘴唇，不相信眼前的一切。但这是现实，妈妈在偷听我讲电话，但我还是把气给吞下去了。她毕竟是我妈妈，我必须尊重她。从那以后，爸爸妈妈不让我接近电话，没有他们的批准，不准我接电话，听电话，大概是因为上次妈妈偷听的时候，听到我跟一个男孩在聊，但他们又知不知道那个是我阔别多年的小学同学呢？他们毕竟是我的父母，我必须尊重他们，我接受了他们的安排。

我现在在怀疑我的“忍气吞声，自己难受”是否正确，不过我还是采取尊重父母，不作声。

那天，我习惯性地一回家就往房间跑，检查我的房间是否被“小偷”“光顾”了。我打开房门，啊！抽屉乱七八遭的。我走过去一看，是我的日记！日记被头看了！我的心好象有一快千斤的石头压着，好重好重。但脑海里又闪过“尊重”二字，我还是把伤心难过硬咽下去了。从此我把我的日记上了锁。

第二天，我回到家，惊奇地发现我日记的锁被撬开了。隐私？隐私是属于我的吗？顿时，心中的悲伤像缺堤的洪水，视线变得模糊，有种液体从眼眶溢出，滑过脸颊，落到下巴，流到嘴唇，我抿了抿嘴，咸咸的。物品捧着日记本，贴着胸口，再见了，宝贝！你已经没有价值了！我把日记本狠狠地扔到了窗外。窗外正下着毛毛雨，天灰灰的，我的视线更加模糊了……

第三天早上，我拿起手机，捧出那个封满尘的装着信的箱子，火冒金星地往大厅走。我把箱子里的信撒得满地，眼睛早已哭得红肿，早已哭得发麻的脸除了沮丧的表情，难以变换其他表情。我哭着说：“你们以前不是很想看的吗？我现在就给你们看！看啊！”我一边哭，一边赌气地不信撕得粉碎。我举起手机，用早已哭得沙哑的声音喊道：“看啊！给你们看！何必偷偷摸摸地看呢，要看就光明正大地看！要偷听嘛，干脆就不要在家安装电话！”说着，气愤地把手机往地上一摔，用尽我全身的力气，发泄我内心积聚已久的痛苦，难受依次发泄出来，手机被摔得支离破碎。爸爸拍案而起：“大胆！你这是干什么？眼里还有父母吗？还有尊重吗？”尊重？你们还敢跟我谈尊重？我就是因为尊重二字才忍气吞声到现在，你们不要以为我什么都不知道，我就是尊重你们，才不出声，现在你们居然说我不尊重你们。那我问回你们，你们有尊重我吗？妈妈痛心地说：“我们也是为了你好，我们想多了解你。”哼！为我好好？每次都是这样的借口，无数次侵犯我的隐私！想多了解我，为我好，你们就不能用其他正确的方法来实现吗？非得这样伤害我不可？这时，爸爸扔下钱说：“算我们对不起你，拿去买你喜欢的东西。”讨厌！讨厌你们每次伤害我后作出的补偿！讨厌你们只会用钱解决问题。我不是以前那三岁的黄毛丫头拿着钱买点吃的难过就忘记了，我现在长大了，我有自己的见解，有自己的空间，有自己的隐私！爱一个人，就要给他属于他的空间。而你们呢？你们做到了吗？口口声声说为我好，那你们为什么做不到？我渴望关爱，我渴望被了解，我渴望平行线相交。

我拿起书包，头也不会地往外冲。晨光的明媚早已被阴云覆盖，深灰色的天空不知什么时候又下起了毛毛雨。冰冷的雨水无情地打在我的脸上，分不清脸上的是泪水还是雨水往学校的路好象没有尽头，好长好长……我一直冲，一直冲，一直冲……。

平行线会有相交的一天吗？我热切期盼。期盼是数学中的自然数，变换无穷；期盼是语文中的省略号，耐人寻味；期盼是物理中的升华，在一瞬间化作烟雾，消散。我希望期盼是物理的凝华，可以捉摸。

天黑黑的，黑得伸手不见五指，一阵风往我的脖子里面吹，冷冷的。我拖着沉重的身子，怀里的那沉重的书快要把我压死，我无力而又奋力地往前走。我的思绪早已抛到九霄云外，上下眼皮正在激战中。忽然眼前一亮，家门出现了！我抖擞了精神，加快脚步。终于回到家了，我的骨头架快要散了。爸爸妈妈笑盈盈地迎了出来，嘘寒问暖。妈妈关切地说：“女儿，赶快去洗个澡，暖和暖和。”我笑着点了点头，把书包扔到一边。

我打开房间门一看，哇！好干净啊！地板书桌都一尘不染。突然，床边的一个柜子杂乱无章，大煞风景。嘿？奇怪了？难道有小偷光顾了？怎么会呢！我这里又没有钱。我七上八下地走过去，打开抽屉一看……我的信！我的信被头看了。尽管我看到的信是整整齐齐，折得方方正正，但是我跟我朋友每次通信，所采用的都是不同的折纸手法，所以，我百分之一千敢肯定有人偷看我的信。一阵怒火直冲头顶，凶巴巴地朝弟弟的房间走去。我把弟弟从被窝里挖出来，狠狠地抽着他的衣领：“你这个小家伙，谁允许你进我的房间？还翻我的东西，找死啊！”弟弟神色慌张，跪地求饶：“姐姐，不关我事啊！以前的我都认了，自从上次你教训了我，我都不敢啦！真的不是我！”看到他那可怜又委屈的样子，我想我冤枉他了。那是谁呢？我生气地跑到大厅问妈妈：“今天谁进我房间了？”“哦，是我啊，我去清洁。”那一刹那，我好象明白了。我尽力掩饰自己内心的愤怒，她毕竟是我妈妈，我必须尊重她。

从那以后，我就把那些信装在一个箱子里，把它严密地藏起来。我懂得尊重他们，但他们是否也懂得尊重我呢？

有一次，在吃午饭的时候，弟弟着急地跑过来：“姐姐，你死定啦，爸爸刚刚查你的手机，看你的信息，看到那些男的给你发的肉麻信息。”我听完慌张地跑到大厅里，把手机打开一看，所有信息都删掉了，尽管我不知道什么事，但是我还是很沮丧。我看了看爸爸，他正在若无其事地看报纸。我看了看手机，把手机锁上了密码。他毕竟是我爸爸，我必须尊重他。 我不知道，我这样不作声是否正确，我只知道我必须尊重他们。但是我这样的做法却纵容了他们行为。

记得暑假里的一天，正与朋友谈得愉快，突然听到话筒里传来姐姐和弟弟打骂的声音，我问他：“你的兄弟姐妹在旁边吗？”他说没有，家里只有他一个。我惊讶地放下话筒，静悄悄地走到大厅门口，偷偷地把头往外探……最不想看到的镜头---妈妈正那着听筒鬼鬼祟祟地想四周探视着，耳朵紧紧地贴着听筒，害怕漏听一个字。我咬着嘴唇，不相信眼前的一切。但这是现实，妈妈在偷听我讲电话，但我还是把气给吞下去了。她毕竟是我妈妈，我必须尊重她。从那以后，爸爸妈妈不让我接近电话，没有他们的批准，不准我接电话，听电话，大概是因为上次妈妈偷听的时候，听到我跟一个男孩在聊，但他们又知不知道那个是我阔别多年的小学同学呢？他们毕竟是我的父母，我必须尊重他们，我接受了他们的安排。

我现在在怀疑我的“忍气吞声，自己难受”是否正确，不过我还是采取尊重父母，不作声。

那天，我习惯性地一回家就往房间跑，检查我的房间是否被“小偷”“光顾”了。我打开房门，啊！抽屉乱七八遭的。我走过去一看，是我的日记！日记被头看了！我的心好象有一快千斤的石头压着，好重好重。但脑海里又闪过“尊重”二字，我还是把伤心难过硬咽下去了。从此我把我的日记上了锁。

第二天，我回到家，惊奇地发现我日记的锁被撬开了。隐私？隐私是属于我的吗？顿时，心中的悲伤像缺堤的洪水，视线变得模糊，有种液体从眼眶溢出，滑过脸颊，落到下巴，流到嘴唇，我抿了抿嘴，咸咸的。物品捧着日记本，贴着胸口，再见了，宝贝！你已经没有价值了！我把日记本狠狠地扔到了窗外。窗外正下着毛毛雨，天灰灰的，我的视线更加模糊了……

第三天早上，我拿起手机，捧出那个封满尘的装着信的箱子，火冒金星地往大厅走。我把箱子里的信撒得满地，眼睛早已哭得红肿，早已哭得发麻的脸除了沮丧的表情，难以变换其他表情。我哭着说：“你们以前不是很想看的吗？我现在就给你们看！看啊！”我一边哭，一边赌气地不信撕得粉碎。我举起手机，用早已哭得沙哑的声音喊道：“看啊！给你们看！何必偷偷摸摸地看呢，要看就光明正大地看！要偷听嘛，干脆就不要在家安装电话！”说着，气愤地把手机往地上一摔，用尽我全身的力气，发泄我内心积聚已久的痛苦，难受依次发泄出来，手机被摔得支离破碎。爸爸拍案而起：“大胆！你这是干什么？眼里还有父母吗？还有尊重吗？”尊重？你们还敢跟我谈尊重？我就是因为尊重二字才忍气吞声到现在，你们不要以为我什么都不知道，我就是尊重你们，才不出声，现在你们居然说我不尊重你们。那我问回你们，你们有尊重我吗？妈妈痛心地说：“我们也是为了你好，我们想多了解你。”哼！为我好好？每次都是这样的借口，无数次侵犯我的隐私！想多了解我，为我好，你们就不能用其他正确的方法来实现吗？非得这样伤害我不可？这时，爸爸扔下钱说：“算我们对不起你，拿去买你喜欢的东西。”讨厌！讨厌你们每次伤害我后作出的补偿！讨厌你们只会用钱解决问题。我不是以前那三岁的黄毛丫头拿着钱买点吃的难过就忘记了，我现在长大了，我有自己的见解，有自己的空间，有自己的隐私！爱一个人，就要给他属于他的空间。而你们呢？你们做到了吗？口口声声说为我好，那你们为什么做不到？我渴望关爱，我渴望被了解，我渴望平行线相交。

我拿起书包，头也不会地往外冲。晨光的明媚早已被阴云覆盖，深灰色的天空不知什么时候又下起了毛毛雨。冰冷的雨水无情地打在我的脸上，分不清脸上的是泪水还是雨水往学校的路好象没有尽头，好长好长……我一直冲，一直冲，一直冲……。

平行线会有相交的一天吗？我热切期盼。期盼是数学中的自然数，变换无穷；期盼是语文中的省略号，耐人寻味；期盼是物理中的升华，在一瞬间化作烟雾，消散。我希望期盼是物理的凝华，可以捉摸。

1

B E

A B

A

滨海中学2013-2014学年度第二学期七年级阶段考试

数学科试题

（ 时间：45分钟，满分：120分）

班级 姓名 座号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分。每小题的四个选项中，只有一个选项是符合

1、如图1，直线a ，b 相交于点O ，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）

A ．50° B ．60° C ．140° D ．160°

图1 图2 图3 2、如图2，已知AB ∥CD ，∠A ＝70°，则∠1的度数是（ ）

A ．70° B ．100° C ．110° D ．130°

3、已知：如图3，AB CD ⊥，垂足为O ，EF 为过点O 的一条直线，则1∠ 与2∠的关系一定成立的是（ ） A ．相等

B ．互余

C ．互补 D ．互为对顶角

4、如图4，AB DE ∥，65E ∠=

，则B C ∠+∠=（ ）

A ．135

B ．115

C ．36

D ．65

图4 图5 6、如图5，如果AB ∥CD ，那么下面说法错误的是（ ）

A ．∠3=∠7； B ．∠2=∠6 C 、∠3+∠4+∠5+∠6=1800 D 、∠4=∠8

D

B 1

A

B

C

D E

F 2 1

O

2 a b

M

P N 1 2

3

5. 下列命题正确的是( )

A. 内错角相等

B. 相等的角是对顶角

C. 三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角

D. 同位角相等，两直线平行

7．在5×5方格纸中将图6（1）中的图形N 平移后的位置如图6（2）中所示，那么正确的

平移方法是（ ）．

(A)先向下移动1格，再向左移动1格

(B)先向下移动1格，再向左移动2格

(C)先向下移动2格，再向左移动1格

(D)先向下移动2格，再向左移动2格 8、下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被

第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）

A ．①、②是正确的命题； B ．②、③是正确命题；

C ．①、③是正确命题 ； D ．以上结论皆错

9、下列语句错误的是（ ）

A ．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；

B ．两条直线平行，同旁内角互补

C ．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角

D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等 10、如图7，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点， 那么123∠+∠+∠=（ ） A ．180 B ．270 C ．360 D ．540 图7 二、填空题(每题4分, 共24分)

11、如图8，直线a b ∥，直线c 与a b ，相交．若170∠= ，则2_____∠= ．

图8 图9 图10

b a c b a A B

C D E 图6（1） 图6（2）

3

A B

E 12、如图9，已知170, 270, 360, ∠=︒∠=︒∠=︒则4∠=______︒．

13、如图10，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝______ 14、、如图11所示，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件

16、把命题 “平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果„„那么„„”的形式是

三、解答题 图 17、推理填空：(每小题4分, 共16分)

如图12：（1） 若∠1=∠2，则 ∥ （ ）

（2）若∠DAB+∠ABC=1800，则 ∥ （ ）

（3）当 ∥ 时，∠ C+∠ABC=1800 （ ） （4）当 ∥ 时，∠3=∠C （ ） 18、(本题12分) 如图，∠1＝30°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O . 求∠2、∠3的度数.

19、(本题12分) 已知：如图AB ∥CD ，EF 交AB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交

AB 于H ，∠AGE=500，求：∠BHF 的度数．

H

F E D

C B

3

2

D

C

B

A A

B

C

D

O

2

F

4

20．（本题12分）如图所示，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数．

b

20、(本题14分) 已知，如图，CD ⊥AB ，GF ⊥AB ，∠B ＝∠ADE ，试说明∠1＝∠2．

第二部分：提高题

21. 如图18，CD ∥AB ，∠DCB =70°，∠CBF =20°，∠EFB =130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？

22、(10分) 观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：

（1）如图a ，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b ，图中共有＿＿＿对对顶角； （3）如图c ，图中共有＿＿＿对对顶角.

（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于一点， 则可形成多少对对顶角？

（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成 多少对对顶角？

F

G

E D

C

B A

1

B E

A B

A

滨海中学2013-2014学年度第二学期七年级阶段考试

数学科试题

（ 时间：45分钟，满分：120分）

班级 姓名 座号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分。每小题的四个选项中，只有一个选项是符合

1、如图1，直线a ，b 相交于点O ，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）

A ．50° B ．60° C ．140° D ．160°

图1 图2 图3 2、如图2，已知AB ∥CD ，∠A ＝70°，则∠1的度数是（ ）

A ．70° B ．100° C ．110° D ．130°

3、已知：如图3，AB CD ⊥，垂足为O ，EF 为过点O 的一条直线，则1∠ 与2∠的关系一定成立的是（ ） A ．相等

B ．互余

C ．互补 D ．互为对顶角

4、如图4，AB DE ∥，65E ∠=

，则B C ∠+∠=（ ）

A ．135

B ．115

C ．36

D ．65

图4 图5 6、如图5，如果AB ∥CD ，那么下面说法错误的是（ ）

A ．∠3=∠7； B ．∠2=∠6 C 、∠3+∠4+∠5+∠6=1800 D 、∠4=∠8

D

B 1

A

B

C

D E

F 2 1

O

2 a b

M

P N 1 2

3

5. 下列命题正确的是( )

A. 内错角相等

B. 相等的角是对顶角

C. 三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角

D. 同位角相等，两直线平行

7．在5×5方格纸中将图6（1）中的图形N 平移后的位置如图6（2）中所示，那么正确的

平移方法是（ ）．

(A)先向下移动1格，再向左移动1格

(B)先向下移动1格，再向左移动2格

(C)先向下移动2格，再向左移动1格

(D)先向下移动2格，再向左移动2格 8、下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被

第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）

A ．①、②是正确的命题； B ．②、③是正确命题；

C ．①、③是正确命题 ； D ．以上结论皆错

9、下列语句错误的是（ ）

A ．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；

B ．两条直线平行，同旁内角互补

C ．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角

D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等 10、如图7，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点， 那么123∠+∠+∠=（ ） A ．180 B ．270 C ．360 D ．540 图7 二、填空题(每题4分, 共24分)

11、如图8，直线a b ∥，直线c 与a b ，相交．若170∠= ，则2_____∠= ．

图8 图9 图10

b a c b a A B

C D E 图6（1） 图6（2）

3

A B

E 12、如图9，已知170, 270, 360, ∠=︒∠=︒∠=︒则4∠=______︒．

13、如图10，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝______ 14、、如图11所示，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件

16、把命题 “平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果„„那么„„”的形式是

三、解答题 图 17、推理填空：(每小题4分, 共16分)

如图12：（1） 若∠1=∠2，则 ∥ （ ）

（2）若∠DAB+∠ABC=1800，则 ∥ （ ）

（3）当 ∥ 时，∠ C+∠ABC=1800 （ ） （4）当 ∥ 时，∠3=∠C （ ） 18、(本题12分) 如图，∠1＝30°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O . 求∠2、∠3的度数.

19、(本题12分) 已知：如图AB ∥CD ，EF 交AB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交

AB 于H ，∠AGE=500，求：∠BHF 的度数．

H

F E D

C B

3

2

D

C

B

A A

B

C

D

O

2

F

4

20．（本题12分）如图所示，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数．

b

20、(本题14分) 已知，如图，CD ⊥AB ，GF ⊥AB ，∠B ＝∠ADE ，试说明∠1＝∠2．

第二部分：提高题

21. 如图18，CD ∥AB ，∠DCB =70°，∠CBF =20°，∠EFB =130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？

22、(10分) 观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：

（1）如图a ，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b ，图中共有＿＿＿对对顶角； （3）如图c ，图中共有＿＿＿对对顶角.

（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于一点， 则可形成多少对对顶角？

（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成 多少对对顶角？

F

G

E D

C

B A

人醉了，泪淌下，那一刻，心被撕碎，忘了从口中吐出的坚强。浑浑噩噩的下午，心中有不解的悲痛，我知道不是因为那件事。这痛也许早就存在，只是这时却像给了我一个借口，让泪水像决了堤的水，流不尽……

原以为会倒在那雷电交加的雨中，万幸，还是到家了。倒在床上，失去知觉般的入睡，也许睡眠才是最好的解酒药吧（提醒下，没喝酒）。醒了，好似做了一场好久好久的梦，终究从梦靥中逃出，回到了现实。

原来，我一直活在回忆中，过去的美好，现在的失意，让我学会了逃避，躲在了自己的记忆中。曾经说他变了，其实不然，是我错了，谁人不变，只有我还活在那时的我，看到从前的自己和别人，难怪道他变了。他是他，我是我，一切并无联系，只不过是两条平行线偶尔的相交，其实那本是错误。也许该羡慕黛玉，本是错误，但她选择在平行线相交结束的那刻离开了，回忆永远美好，时间也由此停住了，相交的平行线不再延续，也就不会分开了，宝玉的思念没有随之逝去，依旧美好，他们还是他们，一切都没变，只是让后人去感叹。

无恨，无怨，庆幸，自己醒了，路很长，过去的该放下，放眼望去，不是一片美好吗？我终究活得太累，为那飘渺的一切，或许我显得愚蠢。不是吗？一切早被注定好，所以快乐时不要快乐，悲伤时不必悲伤，走过，就好。

迷失方向的我，找到了“阡陌”（小径的意思）却不知道这次又要通向何方。可是这有什么重要的呢。记住的，忘记了；留下的，存在着。花儿谢了又开，太阳落了又升，年复一年，周而复始，关于命运的轮回，逃不出上帝的操纵。

（后记：朋友们，如果有空，建议你们去看看如果爱，也许凄美的故事更能引起我们的共鸣吧。不记得太多了，只是那种感觉，没有忘，也许让我懂得了，过去的永远是过去。再一次去找寻，找到的只是影子，太阳落山了，影子也跟着走了。）

人醉了，泪淌下，那一刻，心被撕碎，忘了从口中吐出的坚强。浑浑噩噩的下午，心中有不解的悲痛，我知道不是因为那件事。这痛也许早就存在，只是这时却像给了我一个借口，让泪水像决了堤的水，流不尽……

原以为会倒在那雷电交加的雨中，万幸，还是到家了。倒在床上，失去知觉般的入睡，也许睡眠才是最好的解酒药吧（提醒下，没喝酒）。醒了，好似做了一场好久好久的梦，终究从梦靥中逃出，回到了现实。

原来，我一直活在回忆中，过去的美好，现在的失意，让我学会了逃避，躲在了自己的记忆中。曾经说他变了，其实不然，是我错了，谁人不变，只有我还活在那时的我，看到从前的自己和别人，难怪道他变了。他是他，我是我，一切并无联系，只不过是两条平行线偶尔的相交，其实那本是错误。也许该羡慕黛玉，本是错误，但她选择在平行线相交结束的那刻离开了，回忆永远美好，时间也由此停住了，相交的平行线不再延续，也就不会分开了，宝玉的思念没有随之逝去，依旧美好，他们还是他们，一切都没变，只是让后人去感叹。

无恨，无怨，庆幸，自己醒了，路很长，过去的该放下，放眼望去，不是一片美好吗？我终究活得太累，为那飘渺的一切，或许我显得愚蠢。不是吗？一切早被注定好，所以快乐时不要快乐，悲伤时不必悲伤，走过，就好。

迷失方向的我，找到了“阡陌”（小径的意思）却不知道这次又要通向何方。可是这有什么重要的呢。记住的，忘记了；留下的，存在着。花儿谢了又开，太阳落了又升，年复一年，周而复始，关于命运的轮回，逃不出上帝的操纵。

（后记：朋友们，如果有空，建议你们去看看如果爱，也许凄美的故事更能引起我们的共鸣吧。不记得太多了，只是那种感觉，没有忘，也许让我懂得了，过去的永远是过去。再一次去找寻，找到的只是影子，太阳落山了，影子也跟着走了。）

快 乐 的 回 忆

很快,时间如流水,六年的小学生活进入了倒计时,真让人有些恋恋不舍.刚刚走进那明亮的教室,就要面对着离别的悲伤.回想那老师和蔼的面庞,回想起同学们那一张张可爱的笑脸,脚步愈来愈轻了.

六年的小学生活过去了,我们面临着期末和升学考试,将跃入一个新的折点,还是回想那"六一"庆元欢的聚会,那一幕幕使我记忆犹新.

记得小学四年级时,我们班的数学薛老师换成了王老师.王老师有一头黑亮的头发,他待人可亲,讲课十分幽默.生动.每当同学们正陶醉在那生动的课堂中,下课铃声就挨着走过每个教室,我们只能恋恋不舍的离开这个课堂.

王老师有一条长长的"教鞭"我们犯错误时,王老师不想别的老师那样批评我们,而是带着一种幽默感,像赶鸭者把我们当成可爱的小鸭子,绕着"教鞭"赶着我们围绕乒乓桌溜达一圈.每个人回到座位上并不觉得受到了委屈,而觉得很开心,连那些不爱学习的人都体会到了学习的快乐.

有一次,王老师教我们学习垂线与平行线王老师对我们说:"大家知道垂线与平行线吗"全班全军覆没,鸦雀无声.王老师耐心地对我们讲:"垂线是两条垂直的线,平行线是永远不相交的线!""相交(香蕉)"全班疑惑的问道.王老师捧腹大笑,"相交是不交差的意思,可不是你们说得香蕉!"嗨!"顿时,全班哄堂大笑.

的确,王老师就是这么幽默,但她也不会对我们的学习放松.她既是我们的家长,又是我们的朋友.如今,已经毕业了,我还是舍不得教过我的老师,更舍不得王老师.若大家想有个这样的老师,可以去安康市二小找王小洁老师,她就是我的老师.到那时,你们一定会喜欢我的老师!

王老师您一定要记住我.

您的学生:魏瑶

快 乐 的 回 忆

很快,时间如流水,六年的小学生活进入了倒计时,真让人有些恋恋不舍.刚刚走进那明亮的教室,就要面对着离别的悲伤.回想那老师和蔼的面庞,回想起同学们那一张张可爱的笑脸,脚步愈来愈轻了.

六年的小学生活过去了,我们面临着期末和升学考试,将跃入一个新的折点,还是回想那"六一"庆元欢的聚会,那一幕幕使我记忆犹新.

记得小学四年级时,我们班的数学薛老师换成了王老师.王老师有一头黑亮的头发,他待人可亲,讲课十分幽默.生动.每当同学们正陶醉在那生动的课堂中,下课铃声就挨着走过每个教室,我们只能恋恋不舍的离开这个课堂.

王老师有一条长长的"教鞭"我们犯错误时,王老师不想别的老师那样批评我们,而是带着一种幽默感,像赶鸭者把我们当成可爱的小鸭子,绕着"教鞭"赶着我们围绕乒乓桌溜达一圈.每个人回到座位上并不觉得受到了委屈,而觉得很开心,连那些不爱学习的人都体会到了学习的快乐.

有一次,王老师教我们学习垂线与平行线王老师对我们说:"大家知道垂线与平行线吗"全班全军覆没,鸦雀无声.王老师耐心地对我们讲:"垂线是两条垂直的线,平行线是永远不相交的线!""相交(香蕉)"全班疑惑的问道.王老师捧腹大笑,"相交是不交差的意思,可不是你们说得香蕉!"嗨!"顿时,全班哄堂大笑.

的确,王老师就是这么幽默,但她也不会对我们的学习放松.她既是我们的家长,又是我们的朋友.如今,已经毕业了,我还是舍不得教过我的老师,更舍不得王老师.若大家想有个这样的老师,可以去安康市二小找王小洁老师,她就是我的老师.到那时,你们一定会喜欢我的老师!

王老师您一定要记住我.

您的学生:魏瑶

看了一天的书，眼睛必然有些疲累，习惯性地拿起MP3，为自己快要枯竭的双耳和满是书山题海的汪洋大脑在美妙的钢琴旋律下渐渐弃其糟粕，取其精华，渐渐抽出温润的绿芽苞，整个人的身心情不自禁地沉浸在其中，忽然想起要回某某的留言，打开空间，一句如薄雾般朦胧的话映入眼帘，霎时间似乎看到了你被纱罩掩映下一颗朦胧地跳动的心。

你说“喜欢你，不是把你占为己有，而是希望你幸福，明白吗？”此刻，我毅然敲击键盘，留下三个字的倩影“不明白。”为什么要这样说呢？为什么说“喜欢你，不是把你占为己有，而是希望你幸福，明白吗？”知道吗？看到这句话，我的心被狠狠地震撼了，像被雷轰掉了一半，不知道你为什么会如此理解？但我只看到了你一颗卑怯，朦胧的心。

知道吗？这个世界上有很多东西是要靠自己去争取的，就像小鸟因为向往蓝天，才会去拼搏，她那么拼搏为的是什么？为的就是想在飘着朵朵雪云的湛蓝天空下自由地翱翔！但他能轻易做到吗？不能。为了争取这样一个特权，他除了拼搏，还能做什么？只是为了实现自己的梦，所以才会努力去争取不是吗？

瞧，植物园那高大坚挺的繁茂大树，那翠色欲滴的叶片盛满枝头，知道吗？为了等待这美丽的一刻，他等了多久吗？四季节的轮回。在粉妆玉砌的冬天，它包含冰霜雨雪的摧残，光秃秃的枝条成了唯一能够保护他根下那蕴藏的营养，风霜雨雪似冷酷无情的杀手一次次向他的萧条枝条上挂上锋锐的利剑，然而为了等待美丽的一刻，他只有忍耐，争取等待春的到来，就这样，他在痛苦的严寒煎熬折磨中，漫长地等待着。

有一天，他疲累地睁着被霜寒冻痛的双眼，忽然一滴雨滴又打在自己伤痕累累的身躯上，正当他再次鼓起新的一天迎接霜寒之际，却被雨滴的温润沁湿了干枯的枝条，他奇异地望望自己，一片片绿意正蔓延在自己身上，干枯的枝条贪婪地吮吸着春天的甘露，萧条的枝条上渐渐温润起绿晕，他雀跃地伸展着四肢，迎来了夏天的繁茂。

即使他在春天拥有了枝叶，但并不繁茂，即使翠色欲滴，但并不满枝桠，不是吗？因此，他仍然要再次接受新的考验——夏雨的狂洗。夏雨绵绵，似一个愤怒的恶魔，将枝桠都压弯了，可是你瞧，那棵树儿仍然不屈地在狠猛地袭击中坚毅地挺着树干，即使弯了，他仍然将他再次挺起不是吗？就这样，在一个个夏雨狂狂的日子里，他渐渐茁壮起来，他开始拥有了强壮的身躯，提拔的枝干，青葱的绿帽儿，正当他享受着自己努力争取来的这美丽的一刻时，秋的脚步又渐渐近了，听，他飒飒的风向正想我们的耳蜗传来。

秋来了，把他从前的努力全都摧毁了，是吗？事实真的如你所想吗？不。秋来了，落叶飘零，落在地上，和着地上的泥土渐渐腐烂成肥料，被更深一层的跟吸收了不是吗？终究落叶归根，枝叶的倩影没了吗？不。他变成了树再一次去争取美丽的资本，树成长了，不再是原始的那棵瘦小的树儿了，他一点点在变强。

那是什么让它变强，让他坚持？是“要”，因为他想得到一个东西，他想占有那个东西，所以他去争取，付出自己最大的努力去争取，在争取的过程中，他只是在争取吗？不。他即争取了自己想要的，也成就了自己，不是吗？很多东西是要靠自己去争取的，不去争取，我们只有在原地徘徊，远远地看着他被他人得到，自己想要，去只可远观，自己心里会舒服吗？不。你也想要不是吗？你的心不是这样呼吁的吗？那为什么不去争取呢？为什么要否定自己呢？要，就去争取，只有去争取，两条平行线才会有交点，不是吗？难道就因为给平行线下定了不能相交的结论，平行线就真的不会相交了吗？那你去创造一个平乡线可以相交的结论不就行了吗？

然而有时候，我们也要知道，很多东西是我们如何去争取都争取不来的，所以在争取某一件东西之前，我们必须有一个预见性，因为很多东西，是你的就是你的，别人怎么去争取都抢不走属于你的东西，不是你的东西，你怎么去争取都永远不会是你的，在限定的情况下，两条平行线是不会相交的。假使我们硬要去争取，最终只是徒劳，受伤害的始终是自己，难道只是自己吗？或许还会牵涉到其他不是吗？这期不害人又害己？所以最好不要去争取争取不了的东西，因为不能争取的东西已经被上帝限制了。

忽然心中颇多的感慨，这只是我个人的见解，不知道它能否拨开纱帐，使你朦胧的心不再朦胧，但我知道我是在争取，争取让你的心在温暖的阳光下快乐地跳动，一个不在朦胧的心在清晰的阳光下有节奏的跳动。忽然眼睛又有些疲累了，干脆倒到床上，拉下眼皮睡一睡，因为还要为自己争取更多的精神，去做我想做的事呢。

看了一天的书，眼睛必然有些疲累，习惯性地拿起MP3，为自己快要枯竭的双耳和满是书山题海的汪洋大脑在美妙的钢琴旋律下渐渐弃其糟粕，取其精华，渐渐抽出温润的绿芽苞，整个人的身心情不自禁地沉浸在其中，忽然想起要回某某的留言，打开空间，一句如薄雾般朦胧的话映入眼帘，霎时间似乎看到了你被纱罩掩映下一颗朦胧地跳动的心。

你说“喜欢你，不是把你占为己有，而是希望你幸福，明白吗？”此刻，我毅然敲击键盘，留下三个字的倩影“不明白。”为什么要这样说呢？为什么说“喜欢你，不是把你占为己有，而是希望你幸福，明白吗？”知道吗？看到这句话，我的心被狠狠地震撼了，像被雷轰掉了一半，不知道你为什么会如此理解？但我只看到了你一颗卑怯，朦胧的心。

知道吗？这个世界上有很多东西是要靠自己去争取的，就像小鸟因为向往蓝天，才会去拼搏，她那么拼搏为的是什么？为的就是想在飘着朵朵雪云的湛蓝天空下自由地翱翔！但他能轻易做到吗？不能。为了争取这样一个特权，他除了拼搏，还能做什么？只是为了实现自己的梦，所以才会努力去争取不是吗？

瞧，植物园那高大坚挺的繁茂大树，那翠色欲滴的叶片盛满枝头，知道吗？为了等待这美丽的一刻，他等了多久吗？四季节的轮回。在粉妆玉砌的冬天，它包含冰霜雨雪的摧残，光秃秃的枝条成了唯一能够保护他根下那蕴藏的营养，风霜雨雪似冷酷无情的杀手一次次向他的萧条枝条上挂上锋锐的利剑，然而为了等待美丽的一刻，他只有忍耐，争取等待春的到来，就这样，他在痛苦的严寒煎熬折磨中，漫长地等待着。

有一天，他疲累地睁着被霜寒冻痛的双眼，忽然一滴雨滴又打在自己伤痕累累的身躯上，正当他再次鼓起新的一天迎接霜寒之际，却被雨滴的温润沁湿了干枯的枝条，他奇异地望望自己，一片片绿意正蔓延在自己身上，干枯的枝条贪婪地吮吸着春天的甘露，萧条的枝条上渐渐温润起绿晕，他雀跃地伸展着四肢，迎来了夏天的繁茂。

即使他在春天拥有了枝叶，但并不繁茂，即使翠色欲滴，但并不满枝桠，不是吗？因此，他仍然要再次接受新的考验——夏雨的狂洗。夏雨绵绵，似一个愤怒的恶魔，将枝桠都压弯了，可是你瞧，那棵树儿仍然不屈地在狠猛地袭击中坚毅地挺着树干，即使弯了，他仍然将他再次挺起不是吗？就这样，在一个个夏雨狂狂的日子里，他渐渐茁壮起来，他开始拥有了强壮的身躯，提拔的枝干，青葱的绿帽儿，正当他享受着自己努力争取来的这美丽的一刻时，秋的脚步又渐渐近了，听，他飒飒的风向正想我们的耳蜗传来。

秋来了，把他从前的努力全都摧毁了，是吗？事实真的如你所想吗？不。秋来了，落叶飘零，落在地上，和着地上的泥土渐渐腐烂成肥料，被更深一层的跟吸收了不是吗？终究落叶归根，枝叶的倩影没了吗？不。他变成了树再一次去争取美丽的资本，树成长了，不再是原始的那棵瘦小的树儿了，他一点点在变强。

那是什么让它变强，让他坚持？是“要”，因为他想得到一个东西，他想占有那个东西，所以他去争取，付出自己最大的努力去争取，在争取的过程中，他只是在争取吗？不。他即争取了自己想要的，也成就了自己，不是吗？很多东西是要靠自己去争取的，不去争取，我们只有在原地徘徊，远远地看着他被他人得到，自己想要，去只可远观，自己心里会舒服吗？不。你也想要不是吗？你的心不是这样呼吁的吗？那为什么不去争取呢？为什么要否定自己呢？要，就去争取，只有去争取，两条平行线才会有交点，不是吗？难道就因为给平行线下定了不能相交的结论，平行线就真的不会相交了吗？那你去创造一个平乡线可以相交的结论不就行了吗？

然而有时候，我们也要知道，很多东西是我们如何去争取都争取不来的，所以在争取某一件东西之前，我们必须有一个预见性，因为很多东西，是你的就是你的，别人怎么去争取都抢不走属于你的东西，不是你的东西，你怎么去争取都永远不会是你的，在限定的情况下，两条平行线是不会相交的。假使我们硬要去争取，最终只是徒劳，受伤害的始终是自己，难道只是自己吗？或许还会牵涉到其他不是吗？这期不害人又害己？所以最好不要去争取争取不了的东西，因为不能争取的东西已经被上帝限制了。

忽然心中颇多的感慨，这只是我个人的见解，不知道它能否拨开纱帐，使你朦胧的心不再朦胧，但我知道我是在争取，争取让你的心在温暖的阳光下快乐地跳动，一个不在朦胧的心在清晰的阳光下有节奏的跳动。忽然眼睛又有些疲累了，干脆倒到床上，拉下眼皮睡一睡，因为还要为自己争取更多的精神，去做我想做的事呢。

脆弱的生命

石朝中学

我们的世界是多姿多彩的，所以我们的生命将会把这个世界装扮的更加美丽。在这个美丽的世界中，人的生命因为智慧而闪烁着炫目的光彩，生命是一篇昂扬的乐章，也是一副精美的画卷我们要用怎样的音符韵律来吹奏弹唱，不同的人生有不同的生命，有的绚丽，有的平凡，绚丽的让我们品味绽放热情；平凡的让我们品味朝阳与落日的从容。不管是绚丽的还是平凡的，生命于我们只有一次。我们赢珍爱我们的生命。

我曾听见过这么一则故事，小明是个成绩很优秀的中学生，一次偶然的机会，他发现自己的表哥在一个角落里偷偷的用吸管吸着一种白色粉末。他好奇地走上前，并问你吸的是什么啊？表哥边说边作出一副很享受的样子：“这叫咖啡因，来，你来试试。”小明知道这是毒品，当即就拒绝了他表哥的盛情邀请，但是在他的花言巧语与诱骗下，小明最终还是答应了吸食一口，有了第一次。

许多人都知道有了第一次就会有第二次、第三次、、、、、、就这样，小明开始沦落了。表得暴躁，厌烦学习开始了抢劫、偷窃的行为。没过多久小明因赌瘾犯了又没毒品吸的时候，他最终选择结束了自己的生命。

在丧礼那天，许多昔日的同学、老师、朋友亲人都来了，大家都来哀悼着这位在花季般年纪却不小心走入歪道的青年。更愤恨把小明带上毒品之路的人。

在我身边还曾发生过这么一件令人无法忘记的事，有一个小女孩，她很喜欢去“公寓”外边玩，那时她读小学三年级。她们常常外出玩，有一次，她们急着回家，她因习惯的行为不顾路上的车辆就向

马路的另一边跑去。就在这时车祸发生了，她被一辆车撞到了，当她醒来后，发现自己已躺在医院，而左脚也已经被撞断了。就是这样一个我们平时看起来微不足道的小习惯她却为之付出了血的代价，一辈子与轮椅为伴。

我们的生命是如此的脆弱，一个不经意的瞬间我们或许就丢失了我们的生命，就像这两位同学一样，都为他们的行为付出了惨痛的代价。

生命就像一颗易碎的水晶，一不小心就会被摔碎。生命就像一快完整无缺的镜子，只要被摔碎了就再也难以复原。身体发肤受之父母，作为子女的我们更要爱惜自己，不要等到真正经历过才后悔。要知道，生命只有一次，所以请大家珍爱生命，做一个真正的好子女、好学生。

七年级（2）班邓露露

初中数学公式大全

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行, 这两条直线也互相平行

9 同位角相等, 两直线平行

10 内错角相等, 两直线平行

11 同旁内角互补, 两直线平行

12两直线平行, 同位角相等

13 两直线平行, 内错角相等

14 两直线平行, 同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点, 在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等, 并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称, 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方, 即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直, 并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半, 即S=（a×b ）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角, 四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等, 并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点, 并且被这一

点平分, 那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等, 那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线, 必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线, 必平分第

三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边, 并且等于它

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底, 并且等于两底和的

一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b) ／b=(c±d) ／d

85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线, 所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）, 所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边, 并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交, 所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等, 两三角形相似（ASA ）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等, 两三角形相似（SAS ） 94 判定定理3 三边对应成比例, 两三角形相似（SSS ）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值, 任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹, 是以定点为圆心, 定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹, 是着条线段的垂直 平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹, 是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹, 是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆.

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦, 并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦

相等, 所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L 和⊙O 相交 d ＜r

②直线L 和⊙O 相切 d=r

③直线L 和⊙O 相离 d ＞r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等,

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等, 那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论 如果弦与直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切, 那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r ＜d ＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形

⑵经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆 139正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 141正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角, 由于这些角的和应为 360°, 因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R ／180

145扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2

（还有一些, 大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根, 有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n 项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b ）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S' 是直截面面积, L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

2014年10月13

脆弱的生命

石朝中学

我们的世界是多姿多彩的，所以我们的生命将会把这个世界装扮的更加美丽。在这个美丽的世界中，人的生命因为智慧而闪烁着炫目的光彩，生命是一篇昂扬的乐章，也是一副精美的画卷我们要用怎样的音符韵律来吹奏弹唱，不同的人生有不同的生命，有的绚丽，有的平凡，绚丽的让我们品味绽放热情；平凡的让我们品味朝阳与落日的从容。不管是绚丽的还是平凡的，生命于我们只有一次。我们赢珍爱我们的生命。

我曾听见过这么一则故事，小明是个成绩很优秀的中学生，一次偶然的机会，他发现自己的表哥在一个角落里偷偷的用吸管吸着一种白色粉末。他好奇地走上前，并问你吸的是什么啊？表哥边说边作出一副很享受的样子：“这叫咖啡因，来，你来试试。”小明知道这是毒品，当即就拒绝了他表哥的盛情邀请，但是在他的花言巧语与诱骗下，小明最终还是答应了吸食一口，有了第一次。

许多人都知道有了第一次就会有第二次、第三次、、、、、、就这样，小明开始沦落了。表得暴躁，厌烦学习开始了抢劫、偷窃的行为。没过多久小明因赌瘾犯了又没毒品吸的时候，他最终选择结束了自己的生命。

在丧礼那天，许多昔日的同学、老师、朋友亲人都来了，大家都来哀悼着这位在花季般年纪却不小心走入歪道的青年。更愤恨把小明带上毒品之路的人。

在我身边还曾发生过这么一件令人无法忘记的事，有一个小女孩，她很喜欢去“公寓”外边玩，那时她读小学三年级。她们常常外出玩，有一次，她们急着回家，她因习惯的行为不顾路上的车辆就向

马路的另一边跑去。就在这时车祸发生了，她被一辆车撞到了，当她醒来后，发现自己已躺在医院，而左脚也已经被撞断了。就是这样一个我们平时看起来微不足道的小习惯她却为之付出了血的代价，一辈子与轮椅为伴。

我们的生命是如此的脆弱，一个不经意的瞬间我们或许就丢失了我们的生命，就像这两位同学一样，都为他们的行为付出了惨痛的代价。

生命就像一颗易碎的水晶，一不小心就会被摔碎。生命就像一快完整无缺的镜子，只要被摔碎了就再也难以复原。身体发肤受之父母，作为子女的我们更要爱惜自己，不要等到真正经历过才后悔。要知道，生命只有一次，所以请大家珍爱生命，做一个真正的好子女、好学生。

七年级（2）班邓露露

初中数学公式大全

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行, 这两条直线也互相平行

9 同位角相等, 两直线平行

10 内错角相等, 两直线平行

11 同旁内角互补, 两直线平行

12两直线平行, 同位角相等

13 两直线平行, 内错角相等

14 两直线平行, 同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点, 在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等, 并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称, 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方, 即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直, 并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半, 即S=（a×b ）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角, 四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等, 并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点, 并且被这一

点平分, 那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等, 那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线, 必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线, 必平分第

三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边, 并且等于它

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底, 并且等于两底和的

一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b) ／b=(c±d) ／d

85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线, 所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）, 所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边, 并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交, 所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等, 两三角形相似（ASA ）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等, 两三角形相似（SAS ） 94 判定定理3 三边对应成比例, 两三角形相似（SSS ）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值, 任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹, 是以定点为圆心, 定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹, 是着条线段的垂直 平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹, 是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹, 是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆.

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦, 并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦

相等, 所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L 和⊙O 相交 d ＜r

②直线L 和⊙O 相切 d=r

③直线L 和⊙O 相离 d ＞r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等,

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等, 那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论 如果弦与直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切, 那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r ＜d ＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形

⑵经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆 139正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 141正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角, 由于这些角的和应为 360°, 因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R ／180

145扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2

（还有一些, 大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根, 有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n 项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b ）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S' 是直截面面积, L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

2014年10月13

巴黎的铁塔下，一对对恋人，拉着自己的恋人，一次一次的说要永远，我们，不会有这个时候把，你有她了，不是吗？你说过，巴黎铁塔不会孤单，因为，我是铁塔，你是巴黎，巴黎和铁塔，是挺配的，不过，跟我们无关，不是吗？抱歉，我真的真的不怎么放得下，巴黎的铁塔还好吗？还幸福吗？

你说过，我们真的是两个一模一样的人，一模一样的人，怎么会决裂？是你变了，还是我变了？刺猬说的是我们吗？怕刺伤对方，又不忍心把自己身上的刺拔掉怕痛。你觉得我们真的真的懂哪些吗？我们只是孩子，再尖锐再任性也只是个孩子。我们只是一群缺爱的孩子。也罢，你与我就像平行线，没有相交的那一刻。

巴黎，铁塔，其实没有什么，铁塔永远只是铁塔，偶然，发现BS的个签是有关与你的，那些本以为忘了的东西，还是从记忆深处蹦了出来。平行线，有如两个不同世界的人。永远永远没有可能在一起。你跟我说过，我们不是平行线，是相交线。

巴黎铁塔的繁华，只为掩饰自己的孤单，不是吗？那为什么要告诉我，他不会孤单啊。我祝你幸福。

亲爱的，给我好好的。我爱你。

巴黎的铁塔下，一对对恋人，拉着自己的恋人，一次一次的说要永远，我们，不会有这个时候把，你有她了，不是吗？你说过，巴黎铁塔不会孤单，因为，我是铁塔，你是巴黎，巴黎和铁塔，是挺配的，不过，跟我们无关，不是吗？抱歉，我真的真的不怎么放得下，巴黎的铁塔还好吗？还幸福吗？

你说过，我们真的是两个一模一样的人，一模一样的人，怎么会决裂？是你变了，还是我变了？刺猬说的是我们吗？怕刺伤对方，又不忍心把自己身上的刺拔掉怕痛。你觉得我们真的真的懂哪些吗？我们只是孩子，再尖锐再任性也只是个孩子。我们只是一群缺爱的孩子。也罢，你与我就像平行线，没有相交的那一刻。

巴黎，铁塔，其实没有什么，铁塔永远只是铁塔，偶然，发现BS的个签是有关与你的，那些本以为忘了的东西，还是从记忆深处蹦了出来。平行线，有如两个不同世界的人。永远永远没有可能在一起。你跟我说过，我们不是平行线，是相交线。

巴黎铁塔的繁华，只为掩饰自己的孤单，不是吗？那为什么要告诉我，他不会孤单啊。我祝你幸福。

亲爱的，给我好好的。我爱你。